Corps

par **shawnjohnson** » 08 Oct 2008, 15:15

Bonjour à tous,

J'ai un problème avec un exercice sur les corps finis. Pouvez-vous m'aider?

1) Calculer phi(12) (indicatrice d'Euler)

J'ai trouvé phi(12) = 4

2) Calculer Phi 12 (X)

J'ai trouvé X^4-X²+1

3) Déterminer la décomposition en facteurs irréductibles de Phi 12 (X) dans F2[X] et F3[X] (Fn[x] = Z/nZ[X])

J'ai trouvé :

Dans F2[X] : Phi 12 (X) = (X²+X+1)²
Dans F3[X] : Phi 12 (X) = (X²+1)²

4) Soit K un corps. Supposons qu'il existe dans le groupe multiplicatif K* un élément "Beta" (je vais le noté B) d'ordre 12. Montrer que B est racine de Phi 12 (X) et possède phi(12) racines distinctes dans K.

5)Soit p premier >=5 (supérieur ou égal) et m l'ordre multiplicatif de p dans (Z/12Z)*.
Montrer que Phi 12 (X) possède phi(12) racines distinctes dans le corps Fp^m ((p^m en indice) Quel est le degré du polynôme minimal sur Fp (p en indice) d'une racine de Phi 12 (X) dans Fp^m?

6) Déterminer m suivant la classe de p modulo 12. En déduire le degré des facteurs irréductibles de Phi 12 (X) dans Fp[X]

7) Conclure que, quel que soit p premier, le polynôme Phi 12 (X) n'est pas irréductible dans Fp[X]

Pouvez-vous m'aider pour les dernières questions?

Merci d'avance ^^

par **tize** » 08 Oct 2008, 17:04

Bonjour,
en voyant la question j'aurais tendance à utiliser la formule :

mais sans être sur de rien...

par **yos** » 08 Oct 2008, 17:23

Et pour la suivante (5), il faut voir que

est formé des racines de

et comme

, ce polynôme se factorise par

.

par **Doraki** » 08 Oct 2008, 18:46

4) Soit K un corps. Supposons qu'il existe dans le groupe multiplicatif K* un élément "Beta" (je vais le noté B) d'ordre 12. Montrer que B est racine de Phi 12 (X) et possède phi(12) racines distinctes dans K.

Les racines sont les 4 racines primitives 12èmes de 1, et donc si B en est une,
B^5, B^7, et B^11 en sont aussi (c'est pas très dur à vérifier)
Elles sont distinctes car B est d'ordre 12.

5)Soit p premier >=5 (supérieur ou égal) et m l'ordre multiplicatif de p dans (Z/12Z)*.
Montrer que Phi 12 (X) possède phi(12) racines distinctes dans le corps Fp^m ((p^m en indice) Quel est le degré du polynôme minimal sur Fp (p en indice) d'une racine de Phi 12 (X) dans Fp^m?

C'est facile de montrer que X^12 - 1 divise X^(p^m) - X, et donc Phi12(X) aussi.

Les racines sont distinctes quand le discriminant du polynome est non nul (pgcd de P et P')

Ensuite, Fp^m est un Fp-ev de dimension m ; Fp(B) est un corps intermédiaire donc sa dimension sur Fp (= le degré du polynome minimal de B) divise donc m.

6) Déterminer m suivant la classe de p modulo 12. En déduire le degré des facteurs irréductibles de Phi 12 (X) dans Fp[X]

Sans doute 1 ou 2 vu la question d'après.

par **yos** » 08 Oct 2008, 19:51

Doraki a écrit:C'est facile de montrer que X^12 - X divise X^(p^m) - X,

hum?..........

par **Doraki** » 08 Oct 2008, 20:15

Ah oui c'est X^12-1.

par **shawnjohnson** » 12 Oct 2008, 13:25

Merci beaucoup pour vos réponses, mais j'avoue que je n'arrive toujours pas à comprendre pourquoi il a 4 racines distinctes .

par **yos** » 12 Oct 2008, 18:51

Si tu as montré qu'un élément B d'ordre 12 est racine de

, c'est facile car les

pour k premier avec 12 sont aussi d'ordre 12.

par **shawnjohnson** » 12 Oct 2008, 19:14

Merci^^
Mais c'est surtout pour la question (5), j'ai bien compris que $X^{p^m-1}-1 est divisible par X^{12}-1 donc par Phi(12)(X), mais je n'arrive pas à comprendre pourquoi il y a 4 racines distinctes ...

par **leon1789** » 12 Oct 2008, 19:20

shawnjohnson a écrit:Merci^^
Mais c'est surtout pour la question (5), j'ai bien compris que $X^{p^m-1}-1 est divisible par X^{12}-1 donc par Phi(12)(X), mais je n'arrive pas à comprendre pourquoi il y a 4 racines distinctes ...

calcule le pgcd de Phi(12)(X) et de sa dérivée, tu verras ainsi s'il y a des racines multiples.

par **shawnjohnson** » 13 Oct 2008, 20:54

Comme le PGCD est une constante, il n'y a pas de racines multiples.
En revanche, je dois être trèèèès bête, mais je comprends pas le rapport avec le fait que Phi 12 divise $X^{p^m-1}-1$..

par **leon1789** » 13 Oct 2008, 20:58

:hum: :hum:

shawnjohnson a écrit: j'ai bien compris que $X^{p^m-1}-1 est divisible par X^{12}-1 donc par Phi(12)(X), mais je n'arrive pas à comprendre pourquoi il y a 4 racines distinctes ...

calcule le pgcd de Phi(12)(X) et de sa dérivée, tu verras ainsi s'il y a des racines multiples.

par **Doraki** » 13 Oct 2008, 22:09

Attention, si la constante sur laquelle tu arrives est nulle, il y a des racines multiples.
Par exemple, si tu regardes ta factorisation dans Z/2Z et Z/3Z, là il y a des racines multiples. Donc dans ce cas là, le pgcd ne peut pas être une constante.

Tu ne comprends pas le rapport entre quoi et quoi ?
Les p^m éléments de Z/(p^m)Z sont les p^m racines de X^(p^m) - X.
puisque Phi 12 divise X^(p^m)-X, ça veut dire que les 4 racines de Phi 12 sont des racines de X^(p^m) - X, et donc sont dans Z/(p^m)Z.

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