Conjecture

[jojo56fr]

Bonjour à tous

Je travaille sur une étude de fonction f(x) = x.racine(x) sur [o;+inf[.

La question 1 est facile: prouvez que f est dérivable sur ]0;+inf[.
f'(x) = 3x/(2racine(x)).
f' est positive sur ]0;+inf[ donc Cf est croissante sur cette intervalle.

La deuxième question me pose problème:
Tracez Cf (trivial), quelle conjecture pouvez-vous émettre au point d'abscisse 0 de cette courbe? Démontrez cette conjecture.

La question 3 je la comprends et je pense connaître la réponse:
Un théorème prouve que f et g dérivables en a est une condition suffisante pour que fg soit dérivable en a. Mais Est-ce une condition nécessaire?
ma réponse: Non car cela voudrait dire que si f et g sont dérivable en a alors fg est dérivable en a. Or fg(x) =x.racine(x) est un contre-exemple qui réfute la partie nécessaire de cette proposition.

Pourriez-vous m'éclairer sur la conjecture à émettre en partie 2. Je me charge de la prouver.

[neibaf]

Bonjour,

alors, bien pour le début que tu as fait, par contre après tu fais complètement fausse route...

Quand tu regardes ton graphe, tu dois conjecturer que... f est dérivable en 0, car il semble bien qu'il y ait une tangente horizontale en 0 (quand ce n'est pas dérivable, tu peux avoir, entre autre, une tangente verticale), et donc la dérivée serait 0.
Pour montrer cela, tu dois passer par la limite du taux de variation en 0, c'est à dire revenir à la définition.

Pour la suite, la question 3 donc, c'est tout le contraire.
Est ce une condition nécessaire, ça veut dire "est ce qu'il est absolument indispensable que f et g soient toutes les deux dérivables pour que le produit fg soit lui aussi dérivable", et tu dois pouvoir dire que non et donne une contre exemple avec ce que tu auras fait avant.

[XENSECP]

Mais si c'est réciproque si f est dérivable sur I (intervalle) et g dérivable sur J (autre intervalle) alors fg est dérivable en tout point de I inter J ;)

Ici racine(x) est pas dérivable en 0 donc forcément c'est pas ca qui te permet de dire que x*racine(x) EST dérivable en0... TAUX D'ACCROISSEMENT ;)

[jojo56fr]

Merci beaucoup,

Oui c'est vrai je n'avais pas tout compris dans la question 3.

Merci pour le temps passé.

@ bientôt