Conjecture a verifier...

[tytony313]

bonjour j ai un exercice a rendre que je ne comprend pas tres bien !!j aurais besoin d aide si vous pouvais m aider???
Le proffeseur a remarque que
1x2x3x4+1=25=5²
2x3x4x5+1=121=11²
3x4x5x6+1=361=19²
...........etc il pense pouvoir enoncer une propriete generales
"quand on multiplie par 4 entiers naturels consecutifs non nuls et que l on ajoute 1 au resultat on obtient le carre d un nombre entier!!"
il dirai meme plus on obtient le carre d un nombre premier

ses affirmation son t elle vraies ou fausses ???? justifier!

[Quidam]

bonjour j ai un exercice a rendre que je ne comprend pas tres bien !!j aurais besoin d aide si vous pouvais m aider???
Le proffeseur a remarque que
1x2x3x4+1=25=5²
2x3x4x5+1=121=11²
3x4x5x6+1=361=19²
...........etc il pense pouvoir enoncer une propriete generales
"quand on multiplie par 4 entiers naturels consecutifs non nuls et que l on ajoute 1 au resultat on obtient le carre d un nombre entier!!"
il dirai meme plus on obtient le carre d un nombre premier

ses affirmation son t elle vraies ou fausses ???? justifier!

En quelle classe es-tu ? La réponse dépend de ton niveau !

[tytony313]

je ss en 2nd j ai redoubler mais j ai jamais fait sa l anne dernier??

[chan79]

Bonjour
tu pourrais d'abord te faire une idée avec un tableur
en faisant apparaître une première ligne avec 1;2;3;4;24(le produit);25;5(la racine)
ligne suivante 2;3;4;5;120;121,11
etc en "tirant vers le bas"
tu pourras voir si tu peux conjecturer

[tytony313]

d accort je vais essayer merci beaucoup

[chan79]

je te conseille de développer n(n+1)(n+2)(n+3) et de chercher des entiers a, b et c tels que
n(n+1)(n+2)(n+3)=(an²+bn+c)² pour tout n bien-sûr

[tytony313]

jte remercie j avais commencer avec n+n+1...
merci je pense que sa va m aider avec se que tu ma dit

[tytony313]

j ai essayer avec les n mais j arrive pas a utiliser a b et c comme entiers naturels

[chan79]

tu trouves quel polynôme de degré 4 en développant n(n+1)(n+2)(n+3) ?
après tu développes aussi
(an²+bn+c)²
et tu écris que les coefficients sont les mêmes et ça te donne le résultat

[tytony313]

je comprend le raisonnement merci mais pour les calculer jvoit pas trop comment faudrai faire

[chan79]

n(n+1)(n+2)(n+3)=(n(n+1)) ((n+2)(n+3)) = (n²+n)(n²+5n+6) =
continue

[tytony313]

d accor je te remercie beaucoup pour ton aide !!!

[tytony313]

=n²²+6ncube+11n²+6n????

[chan79]

oui c'est ça
développe (an²+bn+c)²= (an²+bn+c)(an²+bn+c)

[tytony313]

=an²²+2abn cube+2acn+bn²+2bn+c²???

[chan79]

pas tout à fait
a²n^4+(2ab)n^3+(2ac+b²)n²+(2bc)n+c²
il faut donc trouver a, b et c pour que
n^4+6n^3+11n²+6n+1=a²n^4+(2ab)n^3+(2ac+b²)n²+(2bc)n+c²
a²=1
2ab=6
etc

tu peux choisir a=1

[tytony313]

je dois remplacer a b et c par des nombres quelconque??? la je ss un peu perdue

[chan79]

les coefficients de n doivent être les mêmes
il faut que a²=1
tu peux prendre a=1 le but étant de trouver des entiers a, b etc qui vérilient la relation (pour tout n)
donc a=1
les coef de n³ sont 6 d'un côté et 2ab de l'autre donc 2ab=6
soit si a=1: 2b=6 donc b=3
à toi de trouver c

tu vérifieras ensuite que pour tout entier n,

n(n+1)(n+2)(n+3)+1 est bien le carré d'un entier :we:

[tytony313]

n^4+6n^3+11n²+6n+1=1n^4+6n^3+2c+9+n²+6cn=C²
sa ferai sa normalement???
puis pour trouver c je fait un equationa un inconnus??

[chan79]

n^4+6n^3+11n²+6n+1=1n^4+6n^3+2c+9+n²+6cn=C²
sa ferai sa normalement???
puis pour trouver c je fait un equationa un inconnus??

n^4+6n^3+11n²+6n+1=1n^4+6n^3+(2c+9)n²+6cn+C²
2c+9=11
alors finalement n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 est le carré de :hum:
et est-ce que c'est toujours le carré d'un nombre premier ?