Intégration

[detracusse]

Bonjour

J'ai un petit problème. Je dois étudier la convergence de l'intégrale de 0 à l'infini de: ((ln|1-x|)cos(ln(x)))/(x^c) suivant les valeurs de c. je n'arrive pas à trouver le résultat lorsque x tend vers 1(car on a un problème de définition) et en l'infini lorsque c est inférieur ou égal à 1. Pouvez vous me donnez des indications s'il vous plaît parce que je suis vraiment bloquée.

[Joker62]

ça te coutera cher si Mr Lefèvre traînait par là collègue de Jean Perrin :D

Les indications aident pas mal pour le problème en +oo quand même !

[Joker62]

Bon allez je remonte le fil !



Donc, j'voulais savoir un ptit truc !!!
Les indications nous disent qu'en +oo, si alpha > 1 utiliser le critère d'Abel, et pour alpha alpha > 1

Donc j'voulais savoir si c'est légal, parce que bon entre l'utilisation de deux critères de fous et l'utilisation d'un équivalent pour s'ramener à Bertrand, j'trouve ça bizarre

Puis, comme mon collègue l'avait souligné, il y a un problème en 1, mais j'vois pas du tout par où l'régler ce truc...

Merci bien

[mathelot]

bonjour,

on a le droit de prendre des équivalents (localement) des intégrandes quand celles-çi sont de signe constant, ce qui est souvent le cas en pratique.

Au voisinage de 1, le dénominateur et le cosinus ne posent pas de problème
(fonctions continues en x=1) et le logarithme a le même
comportement que au voisinage de zéro.
Mais est localement intégrable au voisinage de zéro, car elle admet pour primitive , prolongeable par continuité en x=0, ce qui assure la convergence locale de l'intégrale.

Au voisinage de l'infini , quand c < 1,
il suffit d'utiliser le critère de Cauchy et la deuxième inégalité de la moyenne
car l'intégrande est le produit d'une fonction de limite nulle
et d'une fonction bornée (le cosinus).

en espérant avoir été clair.

[Joker62]

Vui pas de soucis pour le fait que les fonctions soient de signes constant
Pour celà, j'suis passé bêtement par l'étude de l'absolu convergence, ce qui m'a permis de majorer le cosinus bêtement.

Par contre, j'te remercie pour le problème 1, je faisais un ptit blocage dessus mais c'est réglé à présent ;)

Merci bien ! :)

[detracusse]

Merci pour les indications , je vais continuer de chercher. Pour l'intégrale de bertrand je ne sais pas si on a le droit de l'utiliser directement, l'année dernière on nous l'interdisait mais j'étais pas à la fac.
En tout cas pour le problème en 1 , j'avais bien remarquer que le cos et le dénominateur n'était pas gênant et le ln je savais pas trop quoi en faire,pour moi çà diverge.

[Joker62]

Meuh si on va l'utiliser, ça règle le problème en 2 lignes comme ça ! :D