Série numérique

[pedro42]

bonjour,

1 ) je dois donner la limite Sn= ;) 1 / ;)(( n+p)(n+p+1)) lorsque n tend vers l’infini ( p variant de 1 à n)

2) la nature de la série ;) Sn


j'ai encadré et je trouve que la limite de Sn est comprise entre (1/2) et 1
je ne peux donc pas conclure!

pourriez vous m'aider svp
merci d'avance

[tize]

Je ne veux pas trop m'avancer mais il me semble que l'on peut transformer ceci en une somme de Riemann...non ?
Oui, on peut encadrer par deux somme de riemann ( ou presque), je trouve comme limite.

[klevia]

Si lim Sn est compris entre 1/2 et 1 alors lim Sn différent de 0 et som (Sn) diverge !

[pedro42]

si la limite est comprise entre 1/2 et 1, en effet elle est différente de 0 donc la série diverge mais je dois calculer précisement cette limite,


j'ai pensé utiliser la somme de Riemann mais je n'est pas aboutis.
en mettant 1/n en facteur, on a 1/n ;) 1 / ;) ( 1+p/n)(1+p/n+1/n)

et le 1/n de la dernière parenthèse empeche de faire la somme de riemann

je ne vois donc pas comment trouver ln 2

[tize]

et encore un tout petit peu de travail...

[pedro42]

pour la somme de droite elle est égale à l'intégrale entre 0 et 1 de f(x) dx avec f(x) = 1/ (1+x) donc ça fait ln(2)

et pour celle de gauche, le principe est le même mais normalement pour les séries de Riemann il faut avoir ....f ( k/n)

peut-on poser p+1 = k ? car dans ce cas on trouve aussi ln 2 donc la limite serait égale à ln 2 par le théorème d'encadrement

[tize]

Ré indexele membre de gauche :
est négligeable quand on multiplie par la limite est donc la même...