Nature et somme série numérique( difficile)

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dudumath
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nature et somme série numérique( difficile)

par dudumath » 19 Nov 2007, 15:02

;) un = (1/2) ;) (tan (t/2) (sin((N+1)t)* sin (Nt) )/ sin(t)
( t variant entre 0 Et Pi)

il faut trouver la nature et calculer la somme de cette série

une méthode astucieuse est de penser aux critère de Riemann pour l'intégrale généralisée en 0

sin t équivaut à t en 0
tan t/2 à t/2
sin (N+1)t à (N+1)t
sin (Nt) à Nt

on se retrouve avec du N*(N+1)/2 * t² donc ça converge en 0 d'après critère de Riemann,

1) comment lever l'indétermination en Pi ???
2) comment calculer cette somme ???



yos
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par yos » 19 Nov 2007, 16:59

Bonjour.
Riemann n'y est pour rien dés lors que la fonction a une limite finie en 0. Ca doit être pareil en .
On dit que l'intégrale est faussement impropre en 0 (et ).

dudumath
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par dudumath » 19 Nov 2007, 20:19

oui mais ça ne me dit pas comment calculer cette somme?
d'ailleurs, comment prouver qu'elle est faussement impropre en pi

car sin t équivaut à t en 0 ( cf les équivalents) mais en pi ( on sent bien que c'est la même chose) mais comment le prouver de manière rigoureuse

Merci d'avance

kazeriahm
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par kazeriahm » 19 Nov 2007, 20:25

sin(Pi+h)=-sin(h)

yos
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par yos » 19 Nov 2007, 20:45

Pour la somme : est-ce que c'est ou bien que tu as écrit dans ton premier message?

dudumath
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par dudumath » 19 Nov 2007, 21:44

reprenons depuis le début, l'énoncé est le suivant:
Il s’ agit de déterminer la nature et de calculer la
somme de la série de terme général

un= ;) 2n cos(2nt) *ln (2 cos(t/2)) dt entre 0 et Pi
------------------------------------------------------------

j'ai intégré par parties....
et
et ensuite je prend la somme ;) des un pour n variant de 1 à N

et je trouve
;) un = (1/2) ;) (tan (t/2) (sin((N+1)t)* sin (Nt) )/ sin(t) dt
( t variant de 0 à Pi) et

c'est là que je suis bloqué, cet exercice n'est pas évident

 

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