Limites et continuité (Ts)

[Arkange]

Bonjour,

J'aurais besoin d'aide pour cet exercice qui me pose problème:

Soit g la fonction définie sur R par: g(x) = [rac(1+x2)-1]/x pour x différent de 0 et g(0)=0

1. Etudier la parité de g.
J'ai trouvé que g est impaire

2. Montrer que g est continue en 0. En déduire que g est continue sur R

Dans mon cours j'ai:
Soit f une fonction. Soit a un réel.
f est continue en a si:
1) f est définie sur un intervalle ouvert contenant a
2) lim f(x) = f(a) quand x tend vers a.

Alors de cas g est bien définie sur R\{0} ?
On a bien un intervalle ouver mais il ne contient pas 0 ?

Il y a quelque chose que je n'ai pas compris. De plus comment on peut en déduire qu'elle est continue sur R ?

3. La fonction g est-elle dérivable en 0? interpréter graphiquement.

J'ai trouvé que [g(0+h)-g(0)]/h = 1/2
Mais je suis vraiment pas sûr du résultat ?
Ensuite qu'est ce qu'il faut interpréter graphiquement ? Que La courbe représentaive admet une tangente en 0 ?

4. Déterminer les limites de g en +infini et en -infini. Interpréter graphiquement.

J'ai trouvé quelque chose de faux

Help.

Merci infiniment pour toute aide !

[hellow3]

1. Ok
2. Si g(0)=0 et qqsoit x appartient à R sans 0 g(x)=[rac(1+x2)-1]/x
3. D'accord avec 1/2.
La dérivée en x0 représente la pente de la tangente au poiint x0.
Donc la tangente en 0 est une droite dont la pente est 1/2.
4.
Quantitée conjuguée:
g(x)=(V(1+x²) - 1) / x = x²/ (x(V(1+x²)+1)) = ...

Tu en déduiras tes limites.

[Quidam]

Alors de cas g est bien définie sur R{0 ?
On a bien un intervalle ouver mais il ne contient pas 0 ?

Tu veux dire que g est défini sur à l'exception de 0 ? Si oui,je ne suis pas d'accord ! g est parfaitement définie sur tout entier !

Soit g la fonction définie sur par: g(x) = [rac(1+x2)-1]/x pour x différent de 0 et g(0)=0

n'est-ce pas ?

De plus comment on peut en déduire qu'elle est continue sur R ?

Eh bien, si elle est continue sur à l'exception de 0 et qu'elle est continue en 0 alors elle est continue sur tout entier !
Le tout est donc de vérifier la deuxième condition : que , non ? Tu dois donc chercher cette limite, et si elle est bien égale à g(0) la fonction est continue en 0, et donc sur l'ensemble des réels !

J'ai trouvé que [g(0+h)-g(0)]/h = 1/2

Tiens tu vois, toi aussi tu dis que g(0) existe ! La fonction est donc bien définie en 0 aussi !

Faute de frappe ! Ce que tu as écrit est inexact. Je suppose que tu parlais de la limite de cette expression en 0 ; effectivement, elle est égale à 1/2 :

Ensuite qu'est qu'il faut interpréter graphiquement ? Que La courbe représentaive admet une tangente en 0 ?

Oui !

4. Déterminer les limites de g en +infini et en -infini. Interpréter graphiquement.

J'ai trouvé quelque chose de faux

Qu'as-tu trouvé ?

[Arkange]

Tout d'abord merci pour vos 2 réponses!

Tu veux dire que g est défini sur R à l'exception de 0 ? Si oui,je ne suis pas d'accord ! g est parfaitement définie sur R tout entier !

C'est ce que je voulais dire.
Mais merci je viens juste de comprendre. Si la fonction adment une valeur en x = 0 alors elle définie en 0

Eh bien, si elle est continue sur R à l'exception de 0 et qu'elle est continue en 0 alors elle est continue sur R tout entier !

Mais on ne sait pas qu'elle est continue sur R. On nous demande de montrer qu'elle l'est en 0 puis d'en déduire qu'elle est continue sur R. Je ne vois pas le lien ?

Le tout est donc de vérifier la deuxième condition

J'ai essayé mais je trouve une forme indéterminée à chaque fois "0/0"
J'ai essayé avec la forme conjuguée et je trouve encore une F.I...


Pour la question n°4 j'ai trouve que les limites en +infini et en -infini valent 0 (ce qui est faux, j'ai vérifié avec ma calculatrice)

Merci de m'éclaircir !

[Quidam]

Mais on ne sait pas qu'elle est continue sur R. On nous demande de montrer qu'elle est en 0 puis d'en déduire qu'elle continue sur R. Je ne vois pas le lien ?

Je comprends ! En fait il n'y a pas de problème en dehors de 0 !
x² est continue sur , c'est du cours !
x²+1 est continue sur comme somme de deux fonction continues
est continue sur comme composée de deux fonctions continues.
est continue sur comme différence de deux fonctions continues
et est continue sur car rapport de deux fonctions continues, le dénominateur ne s'annullant pas !

Donc le seul problème, c'est en 0 ! Voilà pourquoi démontrer la continuité en zéro suffit pour parachever la démonstration de la continuité sur

J'ai essayé mais je trouve une forme indéterminée à chaque fois "0/0"
J'ai essayé avec la forme conjuguée et je trouve encore une F.I...

Montre-moi tes calculs ! Tu as dû te tromper quelque part !

Pour la question n°4 j'ai trouve que les limites en +infini et en -infini valent 0 (ce qui est faux, j'ai vérifié avec ma calculatrice)

Il est exact que c'est faux. Ta calculatrice a raison ! Quand tu auras corrigé le calcul ci-dessus, tu trouveras également un bon résultat ici !

[Arkange]

Je crois avoir trouvé l'erreur.

En utilisant la forme indéterminée on trouve:

x²/x[rac(1+x²)-1]


ce qui fait encore une F.I quand x tend vers 0. Mais si on fait:

x * 1/[rac(1+x²)+1]

donc lim = "0*1/2" = 0 quand x tend vers 0 ?

Désolé pour les écritures je ne sais pas comment faire pour l'écrire proprement sur un forum.

Et merci j'ai compris pour la continuité sur R.

[Arkange]

Il me reste plus que la 4! Quelqu'un a une idée ?
Merci par avance

[hellow3]

x/[rac(1+x²)-1]

= x/[rac(x²(1/x² + 1)) -1]
= x/[rac(x²) * rac(1/x² + 1) -1]

en +infini: rac(x²)=x
en -infini: rac(x²)=-x

remplace et simplifie...