Fonction rationnelle

[jeny_]

Bonjour,

J'ai un p'tit exercice à faire mais je suis bloquée :

On a f(x)= (x^3+3x-1)/(x^2) sur I = ]-oo;0[ U ]0;+oo[

a) Montrer que f'(x)= [(x-1)^2(x+2)]/(x^3)
Jusqu'ici pas de problèmes

b) Etudier le signe de f'(x) grâce à un tableau de signes
Que dois-je faire exactement ?


- Dire que le numérateur est positif et que l'on ne peut pas savoir pour le dénominateur car il est mis au cube et qu'il peut aussi bien être positif que négatif, ce qui nous pose soucis sur le signe de f'(x) ?
Mais cele me paraît un peu étrange ...

- Ou bien faire l'étude de signe lorsque f'(x)=0 ; f('x)>0 et f'(x)<0 pour ensuite voir si la fonction est croissante, décroissante ou constante sur l'intervalle ?
Mais par contre ici, comment procéder ?

c) En déduire le tableau de variation de f
Je pense que cette question sera plus simple si j'arrive à éclaircir le b)

Merci pour vos réponses

[eejit]

Bonjour,
b) Etudier le signe de f'(x) grâce à un tableau de signes
Que dois-je faire exactement ?

[(x-1)^2(x+2)]/(x^3)

trouver toutes les valeurs pour lesquelles s'annule.
Donc: que devient le signe de la dérivée de à -2; de -2 à 1 et de 1 à

[jeny_]

Il y aurait -2 et 0 qui s'annulent ?

[jeny_]

... et 1 bien sur ... je vais voir

[jeny_]

pour trouver le signe de la dérivée, il faut calculer son discriminant et ainsi de suite, mais là, si je ne me trompe pas, on a un nombre dans la dérivée, si on développe le numérateur, au cube ?? comment faire ??

[annick]

Bonsoir,
ta dérivée [(x-1)²(x+2)]/(x^3) est un produit de facteurs.
Tu dois donc étudier le signe de chacun des facteurs dans un tableau de signes

(x-1)² est toujours positif sauf en 1 où il s'annule
et ainsi de suite avec 0 pour valeur interdite
Tu auras ainsi le signe de ta dérivée

[jeny_]

Pour ce qui est du numérateur, on a
(x-1)^2 qui est toujours positif et qui s'annule en x=1
x+2 qui est négatif sur ]-oo;0[, positif sur ]0:+oo[ et qui s'annule en x=-2

et le dénominateur x^3 qui est du signe de x.

Si je fais le tableau de signes pour le numérateur, voilà ce que j'obtiens :
valeurs de x : -oo, -2, 0, 1 et +oo
(x-1)^2 : + + || + ° +
x+2 : - ° - || + +
f'(x) : - ° - || + ° +

avec || pour la valeur interdite 0
et ° représentant la valeur pour laquel les expressions s'annulent,
ici 1 pour (x-1)^2 et -2 pour x+2

Mais, par rapport au dénominateur, vu qu'il est du signe de x et qu'on ne connait pas x, il peut aussi bien être positif que négatif,
comment peut-on trouver le sens pour l'ensemble de f'(x) ?
donc pour f'(x)=[(x-1)^2(x+2)] ?