Etude d'une fonction rationnelle

[marocain94]

bonjour, merci d'avance pour votre aide :
Soit f la fonction definie par f(x)=(x²-1)/(x-2) et soit C la courbe représentative de f dans le repère orthogonal ( o i j) unité 1 cm sur l'axe des abscisses ; 5mm sur l'axe des ordonnées.

1) determiner l'ensemble de definition de f
2) calculer les limites de f aux bornes de cet ensemble
3) déduire de la question précédente une asymptote D à C
4) etudier les variations de f
5) determiner les réels a,b,c tels que pour tout x appartient a R- {2} : f(x)= ax+b+(c)/(x-2)
6) montrer que la droite ;) d'équation y= x+2 est asymptote à C vers +;) et vers -;)
7) etudier la position relative de C et de ;)
8) determiner le coefficient directeur de la tangente T1 à C au point A d'abscisse 0
9) determiner une équation de la tangent T2 à C au point B d'abscisse 1
10) determiner tous les points de C ayant une tangente paralléle à T1

determiner les points d'intersections de C avec les axes de coordonnées tracer D1,;),T1,T2 et C

[math*]

Quels sont les problemes que tu rencontres avec cette exercice ??
Pour quelles questions as tu besoin d'aide ?

[Elsa_toup]

Bonsoir,

1). L'ensemble de définition de f est l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles le dénominateur ne s'annule pas.
2). Mets x en facteur en haut et en bas, ça devrait t'éclairer...
3). Regarde bien tes résultats de limites et la définition d'une asymptote.
4). Dérive et fais un tableau de variations.
5). Tu mets la forme proposée avec les a, b et c sur le même dénominateur, tu développes, et tu identifies a, b et c avec les données de départ.
6). définition d'une asymptote: avec les limites...
7). Tu étudies le signe de f(x)-(x+2).
Si c'est >0, C est au-dessus de , et inversement si c'est <0.
8). Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 0 est f''(0).
9). Le coeff directeur sera f '(1) et l'équation de la tangente: f '(1)(x-1)+f(1).
10). Tu résouds f '(x) = f '(0).

[marocain94]

q1) le dénominateur s'annule en 2 donc c'est dans R-{2} c'est sa?

[Elsa_toup]

Oui, exactement !

[marocain94]

l'ensemble de definition de f est tout les reels R-{2}
Q2) lim de x²-1/(x-2) lorsque x tend vers + ;) = FI(forme indeterminé) (car lim x²-1 lorsque x tend vers +;) = +;) et lim x-2 lorsque tend vers +;)=+;)), donc on factorise le numérateur é le dénominateur par le monome de plus haut degré :
x²(1-(1/x²)) / x(1-(2/x)) on simplifie on a : x(1-(1/x²) / 1-(2/x)
puis on calcule la limite de chaque facteur : lim de x lorsque x tend vers +;) =+;)
lim de 1-(1/x²) lorsque x tend vers +;)= 1 , lim de 1-(2/x) lorsque x tend vers +;) = 1 donc lim x²-1/(x-2) lorsque x tend vers + ;) =+;)

[math*]

Exactement! C'est ça!

[marocain94]

lim de x²-1/(x-2) lorsque x tend vers - ;) = FI(forme indeterminé) (car lim x²-1 lorsque x tend vers -;) = -;) et lim x-2 lorsque tend vers -;)=-;)), donc on factorise le numérateur et le dénominateur par le monome de plus haut degré :
x²(1-(1/x²)) / x(1-(2/x)) on simplifie on a : x(1-(1/x²) / 1-(2/x)
puis on calcule la limite de chaque facteur : lim de x lorsque x tend vers -;) =-;)
lim de 1-(1/x²) lorsque x tend vers -;)= 1 , lim de 1-(2/x) lorsque x tend vers -;) = 1 donc lim x²-1/(x-2) lorsque x tend vers - ;) =-;)

[marocain94]

lim de x²-1/(x-2) lorsque x tend vers 2+ = ? lim x²-1 lorsque x tend vers 2+=1 , lim x-2 lorsque x tend vers 2+ =0+ , donc lim de x²-1/(x-2) lorsque x tend vers 2+ = 0+
lim de x²-1/(x-2) lorsque x tend vers 2- = ? lim x²-1 lorsque x tend vers 2-=1 , lim x-2 lorsque x tend vers 2-= 0- , donc lim de x²-1/(x-2) lorsque x tend vers 2- = 0-
c'est juste?

[marocain94]

non j'ai oublié le carré c'est faux c'est 1/0+ = +;) et 1/0-= -;)

[marocain94]

non 3/0+ = +;) et 3/0- = -;)

[marocain94]

non 3/0+ = +;) et 3/0-=-;)

[math*]

Voila c'est bien ça. Continue, si tu as besoin d'aide pour la suite, n'hésite pas.

[marocain94]

on a donc une asymptote vertical d'equation x=2

[math*]

Pour la question 3 c'est bien ça en effet.
Bon courage pour la suite.

[marocain94]

f(x)=x²-1/(x-2) est une fonction quotient donc elle est derivable dans R , f'(x)=(u/v)'= u'.v-u.v'/(v²)
on a donc (2x²-4x-x²)/(2x-2)² = (x²-4x-1)/(2x-2)²
mais aprés pour mettre dans le tableau de variation et de signes je ne sait plus comment factoriser

[math*]

Toute fonction rationelle est dérivable sur son ensemble de définition.
f est définie sur R-{2}
Tu t'es trompé dans la dérivée.
C'est x²-4x+1 au numérateur.
Tu sais qu'un carré est toujours positif, donc le dénominateur est positif. f'(x) est du signe du numérateur (trinome du second degré) ;)

[marocain94]

;)=b2-4ac
;)=12 x1=4-;)12/(2) x2=4+;)12/(2)
x1=-;)3+2 x2=;)3+2

[marocain94]

dans le tableau on aura en haut : x -;) -;)3+2 1 2 ;)3+2 +;)
mais je ne sait pas comment placer (x²-4x+1)/(x-2)²

[marocain94]

x -;) -;)3+2 1 2 ;)3+2 +;)
il ny'a pas de 1 sur le tableau