Maximum-Minimum Fonction Rationnelle

[Olyn]

Bonsoir;

Je rencontre un certain problème à répondre à cette question de mon Devoir de Mathématiques :

On considère la fonction f définie sur l'intervalle I = [-4;4] par f(x) = -x²-2x-1/(x+1)²+1




3°) Démontrer alors que la fonction admet un minimum et un maximum sur I, que l'on déterminera

J'ai calculé la dérivée qui serait :

f'(x) = -2x-2 /(x+1)²+1

Le dénominateur étant positif car étant un carré, le signe de f' sera celui du numérateur.
Etudions le signe de -2x-2
Résolvons par exemple -2x-2 >=0
x<=-1.

J'ai fait le tableau du signe

la fonction est croissante, puis décroissante (x2)

Ensuite, bah le tableau de variations de la fonction

Je trouve bien un maximum qui est le point de cordonnées (-1 ; 0)

Mais il faut aussi un minimum et je ne trouve pas lequel.

Merci de votre aide

[hellow3]

Salut.

Si f(x) = (-x²-2x-1) / ((x+1)²+1)
alors f(x) est de la forme u(x)/v(x)
et f'(x)=(u'(x)*v(x) - u(x)*v'(x)) /v²(x)

[Olyn]

salut,

f '(x)= [ ( (-2x-2)( (x+1)²+1) )-(-x²-2x-1)(2(x+1)1)]/[(x+1)²+1]²
f '(x)= [(-2x-2)(x²+2x+2)-(-x²-2x-1)(2x+2)]/[(x+1)²+1]²
f '(x)= [(-2x-2)[(x²+2x+2)+(-x²-2x-1)]]/[(x+1)²+1]²
f '(x)= [(-2x-2)1]/[(x+1)²+1]²
f '(x)= (-2x-2)/[(x+1)²+1]²


j'avais oublié le ² du dénominateur, mais sinon de toute façon je ne dois pas y toucher, pour bien dire que c'est du signe du numérateur, le dénominateur étant positif (carré toujours positif)

[hellow3]

Tu est sur l'intervalle [-4;4]?
Le minimum est min {f(-4);f(4)}

[Olyn]

Tu est sur l'intervalle [-4;4]?
Le minimum est min {f(-4);f(4)}

Oui je suis sur l'intervalle [-4;4]

Mais je ne comprends pas ce que vous dites.

[hellow3]

La fonction est croissante sur [-4;-1]
donc pour tout x de [-4;-1] f(x)>=f(-4)

La fonction est decroissante sur [-1;4]
donc pour tout x de [-1;4] f(x)>=f(4)

Pour tout x de [-4;4] f(x) est plus grand que le plus petit de f(-4) et f(4).

[Olyn]

donc le minimum c'est soit f(4) soit f(-4)?

[hellow3]

Oui, le plus petit des deux.
f(-4)=-9/10 et f(4)=-25/26 (si j'ai pas fait d'erreurs...)

f(4) est le plus petit, donc pour tout x, f(x)>=-25/26

[Olyn]

f(-4)= (-16+8-1)/[9+1]
f(-4)= -9/10

f(4)= (-16-8-1)/[25+1]
f(4)= -25/26

donc c'est bien f(4)
qui est un minimum local et non global

Merci beaucoup de votre aide, j'avais déjà trouvé ça mais j'étais sûr d'une ineptie.

Bonne soirée à vous et encore merci