Calcul de determinant

[lavela]

bjr,tt le monde, en fait j'ai une exercice a laquelle il ya une question qui demande de demontrer que pour tous (A, B)€[Mn(R)]^2,on a det(AB)=detA*detB, j'ai essayer avec la definition mais je n'arrive pas,j'ai auussi essayer D'INTRODUIRE LA notion de comatrice mais je n'arrives pas,donner moi un coup de main,bonne journee

[nemesis]

tu peux peut etre essayer avec le fait que det soit une application lineaire (plus precisement une fome lineaire ) ou avec la structure de groupe de [Mn(R)]^2

en esperant avoir aidé

[sandrine_guillerme]

Bonjour

est tu sur de ton exo ?

on te demande de montrer que pour tout matrice A et B carrées le dét(AB)=det(A)det(B) ? j'ai le souvenir du prof qui criais Attention attention c'est carrèment différent, prends un contre exmple tu le ferra par toi même !

[sandrine_guillerme]

tu peux peut etre essayer avec le fait que det soit une application lineaire (plus precisement une fome lineaire ) ou avec la structure de groupe de [Mn(R)]^2

en esperant avoir aidé

Le fait que ça soit une forme linéaire ou appartient au dual , n'implqie malheureseument pas le résultat cherché !

[nemesis]

je me disais bien aussi..;
merci de me l'avoir rapellé

[sandrine_guillerme]

Je t'en prie,

Il me semble qu'une faut une condition pour avoir un résultat pareil..

[serge75]

J'appelle [C1,...,Cn] la matrice dont les n colonnes sont les n vecteurs de R^n C1,...Cn.
Si B est une matrice fixée, alors on vérifie par le calcul matriciel que les colones de B.[C1,...,Cn] sont BC1,...BCn.
Il s'en suit que l'application qui au n-uplet (C1,....,Cn) assovie det(B.[C1...Cn]) est n-linéaire alternée, donc proportionnelle au déterminant dans la base canonique, noté det.
Ainsi il existe k tel que pour toutes colonnes (C1,...Cn) on ait :
det(B.[C1...Cn])=kdet[C1,...,Cn].
En d'autres termes, tel que pour touute matrice A on ait :
det(BA)=kdet(A).
Testons en A=In, et on obtient k=det(B), d'où det(BA)=det(A)det(B).
Voilà une preuve directe sans passer par les endomorphismes.
D'autres preuve s'appuyant sur det(fog)=det(f)det(g) sont possibles, bien sûr.

[nemesis]

oui ,je crois (si je me rappel bien ...,) que le fait qu'on travaille avec des matrice carrée suffit ,dans notre cas 2*2 suffit ,non ?

[serge75]

sinon, si tu ne veux pas sortir la grosse artillerie, dans le cas des matrices 2x2, tu peux aussi le vérifier 'bêtement' par le calcul.
Tu calcules AB pour deux matrices quelconques (donc 8 coeff à manipuler), puis son déterminant, tu développes le tout, et tu compares à det(A)det(B).

[fahr451]

bonjour

pas mieux que la preuve de serge75
REM la preuve fournie est exactement une preuve avec les endos

[lavela]

moi aussi je penses que c'est la demonstration aproprie a cette question(la demo de SERGE),car il ya une equivalence entre les endos et les matrices,ou on peut passer facilement de endo a une matrice grace la matrice de f relativement a la base B qui ont des images les vecteurs collonnes