Suites réelles

par **PtitePuce** » 08 Avr 2007, 16:20

Bonjour à tous.
J'ai besoin d'aide pour résoudre l'exercice suivant :

J'ai une suite réelle telle que pour tout k entier naturel, on ait :
u_(k+2)=y.u_(k+1) - u_k avec y=2.cos(t) où 0Il faut exprimer u_k en fonction de u_0, u_1, k et t.

Merci d'avance de bien vouloir me donner un coup de pouce parce que je bloque.

par **serge75** » 08 Avr 2007, 16:59

Il s'agit d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2 don l'équation caractéristique est r²-2rcos(t)+1. Les solutions en sont exp(it) et exp(-it). De là on a pour tout n : u_n=Acos(nt)+Bsin(nt), où A et B sont déterminées par les valeurs de u0 et u1.
Pour n=0 : u0=A.
Pour n=1 : u1=Acos(t)+Bsin(t)=Au0+Bsin(t). Donc pour sin(t) non nul (sin(t)=0 conduit à u_n=u0cos(t) ) tu obtient alors B.
Serge

par **PtitePuce** » 08 Avr 2007, 17:32

Bonjour Serge merci d'avoir répondu !
J'ai cependant encore une petite question normalement on ne devrait pas plutôt se retrouver avec u_n = A cos(nt)+ B i sin(nt) ???
Merci de rerépondre.

par **PtitePuce** » 08 Avr 2007, 17:36

On obtient alors u_n = u_0 cos(nt) + (u_1 - u_0 cos(t)) sin(nt) /sin(t).

par **serge75** » 08 Avr 2007, 17:42

PtitePuce a écrit:Bonjour Serge merci d'avoir répondu !
J'ai cependant encore une petite question normalement on ne devrait pas plutôt se retrouver avec u_n = A cos(nt)+ B i sin(nt) ???
Merci de rerépondre.

Non !
Par contre, si tu cherches les suites complexes réponses de ton probleme (ma réponse ne cherchait que les suites réelles) la réponse sera Aexp(it)+Bexp(-it) avec A et B complexes.

par **serge75** » 08 Avr 2007, 17:43

PtitePuce a écrit:On obtient alors u_n = u_0 cos(nt) + (u_1 - u_0 cos(t)) sin(nt) /sin(t).

C'est exact à vue de nez.

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