2 questions d'arithmétique

par **sophiedu13** » 28 Fév 2007, 11:34

Bonjour tout le monde,
il me reste 2 questions à faire pour un devoir d'arithmétique, je n'ai toujours pas trouvé.

1-montrer que si n=produit de i=1 jusqu'à k de pi^e(pi) (décomposition en facteurs premiers si vous voulez) avec les pi premiers distincts est impair , le nombre de solutions de x² congru à 1(mod n) est 2^k.

2-Montrer le théorème suivant : p est premier ssi (p-1)! congru à -1 (mod p).

Je vous remercie d'avance pour vos idées (la je craque lol)

Bye.

par **fahr451** » 28 Fév 2007, 11:45

bonjour

2) (théorème de wilson)

si p n 'est pas premier p = qr avec 1
donc (p-1) ! = 1....q ...r ...(p-1) congru à 0 mod p

si p premier (p différent de 2) cl désigne la classe d'un entier

Z/pZ est un corps tout élément X non nul est inversible d'inverse X^(-1)
^l équation X = X^(-1) ssi X^2 =cl( 1) ssi (X-cl(1))(X+cl(1)) = 0 ssi X = cl(1) ou X= cl (p-1)

donc CL(2) ,...,CL(p-2) sont inversibles et leurs inverses sont différents d'eux mêmes

dans CL((p-1) !) on regroupe les éléments deux à deux avecleurs inverses
il reste CL(p-1) tout seul le reste donne cl(1)

donc Cl(p-1) !) = cl (p-1) = cl (-1) ce qui signifie (p-1) ! = -1 mod p
pour p = 2 rien à faire

par **sophiedu13** » 28 Fév 2007, 12:14

au risque de passer pour une ignard , qu'entend tu par classe d'un entier?
merci de ta disponibilité.
biz

par **fahr451** » 28 Fév 2007, 12:32

tu connais Z/nZ ou non ?

par **sophiedu13** » 28 Fév 2007, 13:07

oui oui c bon j'ai compris maintenant ça marche. merci beaucoup.
je vais terminer mon devoir grâce à toi.
biz

par **yos** » 28 Fév 2007, 16:35

Bonjour.
Pour la question 1, il faut préciser que

est le nombre de solutions dans

On a :

par le théorème chinois (

est identifié à

).
Il suffit alors de prouver que

n'a que deux solutions (pour chaque i).

par **sophiedu13** » 28 Fév 2007, 17:51

oui j'avais fini par trouvé à peu près comme ca , c'est gentil . sinon comment tu fais pour l'écriture mathématique que tu utilise stp?

par **yos** » 28 Fév 2007, 19:05

C'est du LateX, le standard actuel pour l'écriture de mathématiques. Les bases en sont expliquées sur un lien quelquepart sur ce site. Mais en approchant le curseur des formules, tu devrais voir apparaître ce que j'ai tapé.

par **fahr451** » 28 Fév 2007, 19:12

trop simple le latex , y a que ça de vrai !

par **sophiedu13** » 01 Mar 2007, 10:10

oui pour mon TER je devrais taper en latex

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