J'ai un exercice type bac à faire, mais je coince un peu partout, pouvez-vous m'aider svp?
Partie A
Cette partie est une simple étude de la fonction f(x) = (xln(x))/(x+1) sur R+*.
Sur ]0; B] f est strictement decroissante
Sur [B; +00[ f est strictement croissante
avec 0.27
Lim f(x) en 0 = 0
Partie B
One se propose d'étudier f(x)=n ou n est un entier naturel non nul.
1/ Montrer que pour tout n, cette équation admet une unique solution K(n)(k indice n) en particulier K(1)=K
=> j'utilise le théoreme des valeur intermédiaires. OK
2/On sait que K(n)>e^n
Montrer que f(K(n))=n peut s'écrire ln[(K(n))/(e^n)] = n/(K(n)
=> simple calcul j'y arrive. OK
En déduire la limite de K(n)/e^n quand n tend vers +00
=> je ne sais pas le prouver, mais je le vois : K(n)> e^n donc lim K(n) en +00 = +00 mais ensuite?
3/ On écrit K(n) sous la forme K(n)= (e^n)(1+E(n)) avec E(n)>0
Je dois exprimer (1+E(n))ln(1+En) en fonction de n.
=> je trouve (1+E(n))ln(1+E(n)) = n / e^n
b/Montrer que pour tout Z>0 on a 0<(1+z)ln(1+z)-z < z²/2
=> 0<(1+z)ln(1+z)-z car (1+z)ln(1+z)-z = n/ e^n >0 mais pour le reste j'y arrive pas...
merci pour votre aide, j'ai besoin de quelques pistes si possible ! :)
