Exo type bac sur les complexes

[Mouch]

bonjour j'ai cet exercice d'entraînement sur les complexes type bac a faire:
Le plan P est rapporté à un repère orthonormal direct (O, u, v).
On fera une figure qui sera complété au fur et à mesure.
Soit f l'application qui à tout point M de P d'affixe non nulle z associe le point M' d'affixe : z' = 1/2(z+1/z)

1) Soit E le point d'affixe ze=-i. Déterminer l'affixe du pont E', image de E par f
> je trouves z'e=0

2) Déterminer l'ensemble des point M tels que M'=M
> z=1 ou z=-1 d'où M'=M quand leur affixe vaut 1et-1..

3) On note A et B les points d'affixes respectives 1 et -1.
Soit M un point distinct de O, A et B.
a) Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de 0, 1 et -1 on a :
(z'+1)/(z'-1) = ((z+1)/(z-1))²
>rien de compliqué juste du développement

b) En déduire une expression de M'B/M'A en fonction de MB/MA, puis une expression de l'angle (M'A ; M'B) en fonction de l'angle (MA ; MB)
> je sais que M'B/M'A est la distance au carré de MB/MA et que l'angle (M'A ; M'B) est le double de l'angle l'angle(MA ; MB) mais je ne sais pas comment le rédiger sur le papier (quelqu'un peut me dire comment l'écrire?)


4) Soit delta la médiatrice du segment [AB]. Montrer que si M est un point de delta distinct du point O, alors M' est un point de delta.
> en disant que le point M est un imaginaire pure non défini en O?

5) Soit gamma le cercle de diamètre [AB].
a) Montrer que si le point M appartient à gamma alors le point M' appartient à la droite [AB]
>je ne sais pas comment faire.

b) Tout point de la droite (AB) a-t-il un antécédent par f ?
>là non plus
merci pour toute aides

[Sa Majesté]

3) On note A et B les points d'affixes respectives 1 et -1.
Soit M un point distinct de O, A et B.
a) Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de 0, 1 et -1 on a :
(z'+1)/(z'-1) = ((z+1)/(z-1))²
>rien de compliqué juste du développement

b) En déduire une expression de M'B/M'A en fonction de MB/MA, puis une expression de l'angle (M'A ; M'B) en fonction de l'angle (MA ; MB)
> je sais que M'B/M'A est la distance au carré de MB/MA et que l'angle (M'A ; M'B) est le double de l'angle l'angle(MA ; MB) mais je ne sais pas comment le rédiger sur le papier (quelqu'un peut me dire comment l'écrire?)

a pour affixe z-1 donc MA = |z-1|
a pour affixe z+1 donc MB = |z+1|
Je te laisse finir

Une mesure de l'angle est
Je te laisse finir

4) Soit delta la médiatrice du segment [AB]. Montrer que si M est un point de delta distinct du point O, alors M' est un point de delta.
> en disant que le point M est un imaginaire pure non défini en O?

Oui
Il suffit de prendre z=ki avec k réel non nul et de calculer z'

5) Soit gamma le cercle de diamètre [AB].
a) Montrer que si le point M appartient à gamma alors le point M' appartient à la droite [AB]
>je ne sais pas comment faire.

M appartient à gamma donc

b) Tout point de la droite (AB) a-t-il un antécédent par f ?
>là non plus

Prends z'=k avec k réel et cherche si tu peux trouver z

[Mouch]

merci pour votre aide je devrais m'en sortir :)

[Mouch]

pouriez vous me donner un peu plus de précision pour la quesion 5b? j'ai du mal a comprendre pourquoi faire z'=k répond a la question.
est ce que parce que quand M' est sur [AB] hors mi à l'origine il n'est plus un imaginaire pur et que du coup M serrait à un autre point du cercle?

[Sa Majesté]

La droite (AB) est l'axe des réels
Un point M' sur la droite (AB) a donc pour affixe un nombre réel k
M' admet un antécédent par f ssi il existe M(z) tel que