Exercice "type bac" sur l'étude de fonctions

[tomtom21]

Bonjour,

j'ai un long exercice à faire pour la rentrée et je galère un peu et je cherche un peu d'aide pour ce dernier.
Il se compose en trois parties que je vais poster les unes après les autres sur ce topic.

Voici l'énoncé et mes réponses en GRAS :

On considère la fonction f(x) = qui a pour représentation graphique :

http://www.mediafire.com/view/2a0wzjei9g8401i/graphique%20f(x).png

1/ Conjecturez le sens de variation de f sur [-3;2]
f est croissante sur l'intervalle [-3;2]

2/ Conjecturez la position de la courbe par rapport à l'axe (x'x)
est en dessous de l'axe x pour pour tout x0

Partie A : Contrôle de la première conjecture

1/ Calculer f'(x) pour tout réel x, et l'exprimer à l'aide de l'expression g(x) où g est la fonction définie sur par :


je trouve f'(x) =
Mais je ne suis pas sûr au niveau de la dérivée en particulier pour dériver cette partie de la fonction :

2/ Etude du signe de g(x)

a/ Calculer les limites de g(x) quand x tend vers et
J'ai trouvé :






b/ Calculer g'(x) et étudiez son signe selon les valeurs de x
j'ai trouvé :
Donc pour tout x; g'(x)>0

c/ En déduire le sens de variation de la fonction g, puis dresser son tableau de variations
Voici ce que j'obtiens :


http://www.mediafire.com/view/fqmt5pcmgrmnpw3/tableau%20de%20variation%20de%20g(x).png


d/ Montrer que l'équation g(x) = 0 possède une unique solution dans
On note cette solution.
Montrer que 0.20 0 si x> et g(x)=0 si x=[/b]

3/ Sens de variation de la fonction f

a/ Etudier, suivant les valeurs de x, le signe de f'(x) et en déduire le sens de variation de la fonction f.
N'ayant pas trouvé la dérivée de f(x) dans les premières questions, je suis bloqué pour cette question

b/ En conclure sur la première conjecture émise.
Non faisable tant que je n'ai pas la dérivée...

[titine]

f(x) = x² e^(x-1) - x²/2
Pour dériver x² e^(x-1) on utilise (uv)' = u'v+uv'
u(x) = x² donc u'(x) = 2x
v(x) = e^(x-1) donc v'(x) = e^(x-1)
Donc f'(x) = 2x e^(x-1) + x² e^(x-1) - 2x/2
f'(x) = x (2+x) e^(x-1) - x = x ((2+x) e^(x-1) - 1) = x * g(x)

[titine]

2) tes limites sont justes mais il faut bien les justifier.

Ta dérivée de g est fausse. Refais la en utilisant la dérivée de u*v.

Pour d) utilise le théorème des valeurs intermédiaires.

[tomtom21]

Merci bien pour la dérivée de f(x), j'ai parfaitement compris ton raisonnement !

Justement au niveau des limites, je me demandais si il n'y avait pas une forme indéterminée en ?

Je vais refaire en attendant le calcul de la dérivée de g(x) en attendant...

[titine]

Oui pour là limite de g(x) en - inf il y a une forme indéterminée et elle est assez difficile à bien rédiger.

g(x) = (x+2) e^(x-1) - 1
En - inf la limite de (x+2) est -inf et celle de e^(x-1) est 0 . Donc forme indéterminée.

(x+2) e^(x-1) = ((x-1)+3) e^(x-1) = (x-1) e^(x-1) + 3 e^(x-1)
La limite quand x tend vers -inf de (x-1) e^(x-1) est égale à la limite quand X tend vers -inf de X e^X = 0 (résultat de cours)
Et la limite quand x tend vers -inf de 3 e^(x-1) est égale à 0
Donc la limite en -inf de g est bien -1.

[tomtom21]

Pour la dérivée de g(x) j'obtiens :



Est ce bien ça ?

[tomtom21]

Ha oui je vois ça ressemble à une démonstration de cours...

Il faut obligatoirement rédigé tout ça pour justifier la limite ?

[titine]

Pour la dérivée de g(x) j'obtiens :



Est ce bien ça ?

Oui c'est ça

[titine]

Ha oui je vois ça ressemble à une démonstration de cours...

Il faut obligatoirement rédigé tout ça pour justifier la limite ?

Je pense que oui

[tomtom21]

Okay merci pour les précisions !

Ensuite, je bloquais pour la 2/d. mais tu m'as dis d'utilisé le théorème des valeurs intermédiares.

Donc en gros je dis que :
Comme g(x) est croissant, et que en g(x) tend vers -1 et en g(x) tend vers alors il existe un réel qui vérifie g(x) = 0

Mais comment je fais pour trouver ce ?
Je fais un encadrement grâce un tableau de valeurs ?

[tomtom21]

Je me suis avancé sur la partie A, et j'ai terminé le 3/

et j'aimerai savoir ce que tu en penses.

3/a. f'(x) = x * g(x)

donc on a le tableau de variation suivant :

http://www.mediafire.com/view/f3qvb031e1w9u3v/tableau%20de%20variation%20de%20f(x).png

c) Il y a donc une contradiction avec l'hypothèse formulée au départ.

Je sais que ça fait beaucoup de choses à vérifier, mais je t'en serais reconnaissant :we:

[titine]

Okay merci pour les précisions !

Ensuite, je bloquais pour la 2/d. mais tu m'as dis d'utilisé le théorème des valeurs intermédiares.

Donc en gros je dis que :
Comme g(x) est croissant

g'(x) = (x+3) e^(x-1) n'est pas positif sur R donc g n'est pas croissante sur R.
Étudie le signe de g'(x) et dresse le tableau de variations de g.

[titine]

Je me suis avancé sur la partie A, et j'ai terminé le 3/

et j'aimerai savoir ce que tu en penses.

3/a. f'(x) = x * g(x)

donc on a le tableau de variation suivant :

http://www.mediafire.com/view/f3qvb031e1w9u3v/tableau%20de%20variation%20de%20f(x).png

c) Il y a donc une contradiction avec l'hypothèse formulée au départ.

Je sais que ça fait beaucoup de choses à vérifier, mais je t'en serais reconnaissant :we:

f'(x) = x*g(x)
Donc pour étudier le signe de f'(x) il faut étudier :
- le signe de x (négatif avant 0, positif après)
- le signe de g(x) (négatif avant alpha, positif après)
Puis en déduire le signe du produit.

[tomtom21]

J'ai vu que je m’étais trompé, normalement au final pour f(x) on doit avoir comme tableau de variation :

http://www.mediafire.com/view/bhp7p12367io9ds/tableau%20de%20variation%20de%20f(x)%20correct.png

PS : J'ai la flemme de re-détailler tout les calculs précédents que j'ai corrigés, normalement si ce tableau est bon, c'est que mes calculs sont bons.

PSS : Peut on trouver ou non les valeurs où j'ai mis des points d'interrogations ?

[titine]

J'ai vu que je m’étais trompé, normalement au final pour f(x) on doit avoir comme tableau de variation :

http://www.mediafire.com/view/bhp7p12367io9ds/tableau%20de%20variation%20de%20f(x)%20correct.png

PS : J'ai la flemme de re-détailler tout les calculs précédents que j'ai corrigés, normalement si ce tableau est bon, c'est que mes calculs sont bons.

PSS : Peut on trouver ou non les valeurs où j'ai mis des points d'interrogations ?

Oui c'est ça.
Ça semble contredire la conjecture du début car alpha est compris entre 0,20 et 0,21 donc il est proche de 0 et donc dans une fenêtre d'affichage classique on ne voit pas qu'entre 0 et alpha f est décroissante.

Dans ton tableau tu peux compléter par la valeur de f(0) facile à calculer. Par contre tu ne peux pas calculer f(alpha) car tu ne connais pas la valeur exacte de alpha.

Mais comment je fais pour trouver ce \alpha ? Je fais un encadrement grâce un tableau de valeurs ?

Oui pour trouver un encadrement de alpha tu utilises le tableau de valeurs de g. Tu constates que g(0,20)0 Donc 0,20<alpha<0,21

[tomtom21]

Ok !
Et bien, mille mercis pour toute l'aide que tu m'as apporté ! :we:

Demain j'attaque la deuxieme partie.
En cas de besoin est ce que je pourrais de nouveau faire appel à toi ? :we:

[tomtom21]

Bonjour,

me revoici avec la seconde partie de mon exo type bac...

alors voici l'énoncé de la partie B et mes réponses en GRAS comme toujours.

Partie B : Contrôle de la deuxième conjecture

On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal .

On se propose de contrôler la position de la courbe par rapport à l'axe (x'x). (deuxieme hypothèse)

1/ Montrer que

Là je me suis dis qu'on pouvait remplacer x dans l'expression de base de f(x) par mais bon... je n'aboutie à rien

2/ On considère la fonction h définie sur l'intervalle [0;1] par :


a. Calculer h'(x) pour , puis déterminer le sens de variation de h sur [0;1]

Pour la dérivée, j'utilise la formule de et je trouve au final

Ce qui amène à donner comme tableau de variation :

http://www.mediafire.com/view/80h5h8n53gxsrqc/tableau%20de%20variations%20de%20h(x)%20sur%20%5B0%3B1%5D.png

b. En déduire un encadrement de .

Là je ne vois pas du tout quoi faire...

3/a. Déterminer les abscisses des points d'intersection de la courbe C avec l'axe (x'x).

b. Préciser alors la position de la courbe C par rapport à l'axe des abscisses.

c. Que penser de la deuxième conjecture ?

Là, je n'ai encore traitée ces questions car je ne préfère pas m'étaler sur toutes les questions en même temps, je préfère déjà faire celle que je n'arrive pas à faire au début

[titine]

f(x) = x² e^(x-1) - x²/2
Donc f(alpha) = alpha² e^(alpha-1) - alpha²/2
De plus alpha est la solution de g(x) = 0
Donc g(alpha) = (alpha+2) e^(alpha-1) - 1 = 0
Donc e^(alpha-1) = 1/(alpha+2)
On remplace e^(alpha-1) par 1/(alpha+2) dans f(alpha) :
f(alpha) = alpha² e^(alpha-1) - alpha²/2 = alpha² * 1/(alpha+2) - alpha²/2
En simplifiant (réduction au même dénominateur ...) on obtient -alpha^3/(2(alpha+2))

[titine]

2/ On considère la fonction h définie sur l'intervalle [0;1] par :


a. Calculer h'(x) pour , puis déterminer le sens de variation de h sur [0;1]

Pour la dérivée, j'utilise la formule de et je trouve au final

Ce qui amène à donner comme tableau de variation :

http://www.mediafire.com/view/80h5h8n53gxsrqc/tableau%20de%20variations%20de%20h(x)%20sur%20%5B0%3B1%5D.png

D'accord pour la dérivée. Attention ce n'est pas f' mais h'.

Ton tableau de variation est juste mais il faut que tu justifie le signe de h'(x) sur [0;1]

[tomtom21]

Okay merci, j'ai tout compris et j'obtiens bien les bon résultats.

Mais comment je fais pour "justifier proprement" que la courbe décroit ?
Je veux dire, il suffit de regarder mon tableau nan ?