Problème avec les congruences

[XxJeanYvesxX]

Bonjour, j'ai un petit problème avec les congruences,

dans un exercice, on m'a d'abord demandé de prouver que pour tout n entier naturel, n^5 - n était divisible par 10. J'ai pu dresser un tableau de congruence et le prouver assez facilement mais le problème vient de la suite.

On me demande ensuite de trouver l'entier n qui vérifie n^5 = 8 587 340 257 sans utiliser la calculatrice

J'ai pu trouver que le chiffre des unités de n était 7 car comme ça n^5 - n est divisible par 10 et j'ai remarqué que n < 100 car 100^5 > 8 587 340 257 donc ça nous laisse les solutions possible
S = {7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87, 97}

En regardant avec ma calculatrice je sais déjà que c'est 97 mais je n'arrive pas à le prouver sans, je pense qu'il faut utiliser les congruences car c'est le chapitre qu'on aborde en ce moment mais j'arrive pas à trouver la solution.

Merci d'avance de m'aider

[lyceen95]

Tu peux remarquer que 87 est un multiple de 3. Et il y a une astuce ultra-connue, en relation avec les congruences, qui te permet d'affirmer que 8 587 340 257 n'est pas un multiple de 3.
Donc 87 ne peut pas être la solution.

Et 77^5, c'est beaucoup trop petit ... donc il ne reste que 97.

En regardant les congruences modulo 3, on peut aussi affirmer que 77 ne convient pas.

[Ben314]

Salut,
Perso, il me semble que, même sans calculatrice, on a vite fait de voir que
90^5 = 90^2 x 90^3 < 90^2 x 100^3 = 8 100 000 000 < 8 587 340 257
donc 90 est trop petit et seul 97 peut éventuellement convenir.