Divisibilté dans ZZ avec les congruences

[Anonyme]

Le but de cet exercice est de prouver que pour tout entier naturel n,(2^2^6n+2)+3 est divisible par19.

a)Vérifier que cette affirmation pour n=0
b)Vérifier que 2^6 est congru à 1[9]
c)En déduire que pour tout n appartenant à N il existe un entier naturel k tel que : 2^6n =9k+1
d)A l'aide des congruences,déterminer le reste de la division euclidienne de 2^18 par 19.
e)Prouver que l'affirmation est vraie pour tout pour tout n, a partir de b),c),d).

J'ai tout fait,sauf la e).Si quelqu'un pouvait m'aider. Merci :)

[chombier]

Le but de cet exercice est de prouver que pour tout entier naturel n,(2^2^6n+2)+3 est divisible par19.

a)Vérifier que cette affirmation pour n=0
b)Vérifier que 2^6 est congru à 1[9]
c)En déduire que pour tout n appartenant à N il existe un entier naturel k tel que : 2^6n =9k+1
d)A l'aide des congruences,déterminer le reste de la division euclidienne de 2^18 par 19.
e)Prouver que l'affirmation est vraie pour tout pour tout n, a partir de b),c),d).

J'ai tout fait,sauf la e).Si quelqu'un pouvait m'aider. Merci

Est-ce que cela t'aide ?

[Anonyme]

Est-ce que cela t'aide ?

Non,pas vraiment.J'ai po compris 2^((9k+1))*4, et je ne vois en quoi vous vous êtes aider des questions précédentes. Et aussi comment vous arrivez à conclure que:((2^18)^2k))*2^4 est divisible par 19.

[chombier]

J'ai remplacé 2^(6n) par 9k+1 en utilisant la question c.

Je n'ai pas fini l'exercice, je l'ai juste avance un peu. C'est à toi de finir.

Je peux voir ce que tu as fait sur les premières questions ?

[Anonyme]

J'ai remplacé 2^(6n) par 9k+1 en utilisant la question c.

Je n'ai pas fini l'exercice, je l'ai juste avance un peu. C'est à toi de finir.

Je peux voir ce que tu as fait sur les premières questions ?

a)Pour n=0,(2^2^(6n+2))+3=19 Donc l'affirmation est vraie pour n=0.
b)2^6=64 64 congrue 1 [9],donc 2^6 congure 1[9].
c)2^6 congure 1[9],(2^6)^n congure (1)^n[9],(2^6)^n congure 1[9]. Donc 2^6n=9*k+1
d)2^18=262144 262144=19*13797+1 reste=1
e)Je n'arrive pas à comprendre,comment à partir [((2^(18)^2k))*2^4]+3,on peut arriver arriver à prouver que l'affirmation est vraie?

[Anonyme]

a)Pour n=0,(2^2^(6n+2))+3=19 Donc l'affirmation est vraie pour n=0.
b)2^6=64 64 congrue 1 [9],donc 2^6 congure 1[9].
c)2^6 congure 1[9],(2^6)^n congure (1)^n[9],(2^6)^n congure 1[9]. Donc 2^6n=9*k+1
d)2^18=262144 262144=19*13797+1 reste=1
e)Je n'arrive pas à comprendre,comment à partir [((2^(18)^2k))*2^4]+3,on peut arriver arriver à prouver que l'affirmation est vraie?

Finalement, je pense avoir compris.
2^2^(6n+2)= (2^2^6n)*2^2= 2^(9k+1)*4= ((2^18)2*k))*2^4
On sait que 2^18 congure 1[9], donc (2^18)^2k congure 1^2k[9], donc (2^18)^2k congure 1[9]
2^4 congure 16[19]
Donc ((2^18)2*k))*2^4 congure 1*16 congure 16[9]
Donc [((2^18)2*k))*2^4] +3 congure 16+3 congure 19[19], donc congrue 0[9].
Sachant que si A congrue 0[B] veut dire que A est divisible par B, donc [((2^18)2*k))*2^4] +3 est divisible par 19. C'est bon???

[chombier]

Finalement, je pense avoir compris.
2^2^(6n+2)= (2^2^6n)*2^2= 2^(9k+1)*4= ((2^18)2*k))*2^4
On sait que 2^18 congure 1[9], donc (2^18)^2k congure 1^2k[9], donc (2^18)^2k congure 1[9]
2^4 congure 16[19]
Donc ((2^18)2*k))*2^4 congure 1*16 congure 16[9]
Donc [((2^18)2*k))*2^4] +3 congure 16+3 congure 19[19], donc congrue 0[9].
Sachant que si A congrue 0[B] veut dire que A est divisible par B, donc [((2^18)2*k))*2^4] +3 est divisible par 19. C'est bon???

Came paraît bon

Pour la d) j'aurait écrit 2^18 = (2^6)^3
Or 2^6 est congru à 1 (mod 9), donc (2^6)^3 est congru à 1^3=1 (mod 9)

[Anonyme]

Came paraît bon

Pour la d) j'aurait écrit 2^18 = (2^6)^3
Or 2^6 est congru à 1 (mod 9), donc (2^6)^3 est congru à 1^3=1 (mod 9)

Merci beaucoup.J'ai un autre exercice ou là je n'arrive pas du tout. Ce n'est pas a propos des congruences mais de la fonction exponentielle.

Exercice:Trouver une fonction f vérifiant f'(x)=3f'(x) et f(0)=2
Prouvez qu'il n'y a pas d'autre solution que celle trouvée.