Équation différentielle

[fallonvasseur]

Bjr, j'ai besoin daide pour mon dm de maths je suis en terminale spe maths et j'ai un gros soucis avec ça. Sachant que le bac est en contrôle continu je veux essayer d'avoir de belles notes. Pourriez vous maider?...



Une équipe de biologistes cherche à étudier l'évolution d'une population de petits rongeurs.
1.Elle étudie d'abord en laboratoire I'évolution d'une population qui compte initialement 50 individus. La taille de la population rannées après le début de l'expérience est notée f(x) et exprimée en centaines d'individus. On peut montrer que la fonction fest solution sur l'intervalle [0; +infini[, de l'équation différentielle:
(E1):y'=(y/4); avec f(0) =0,5.


a. Déterminer l'expression de f(x).
b. Déterminer le sens de variation de f puis la limite de f(t) en +infini et interpréter les résultats obtenus.
c. Au bout de combien d'années la population dépassera-t-elle 300 rongeurs?
2. En réalité, dans le milieu naturel où évolue ce petit rongeur, un prédateur limite la croissance de la population. On note g(t) le nombre de rongeurs, en centaines d'individus vivants t années après le début de l'étude.
Pour modéliser l'évolution de cette population, les scientifiques ont utilisé un modèle dit de Verhulst et on admet que la fonction g est solution de I'équation différentielle,
appelée équation logistique, (E):y'=(y/4)-(y²/12) et que g(0)= 20.

a. On suppose que, pour tout réel positif t, on a
g(t) >0.
On définit la fonction h sur [0; +infini] par h= (1/g)
Démontrer que g est solution de (E) si et seulement si h est solution de l'équation différentielle:
(E):y'= -(1/4)y + (1/12)
b. Donner toutes les solutions de l'équation (E') et en déduire I'expression de la fonction h, puis celle de g.
c.Déterminer le sens de variation de g puis la limite de g(t) en +infini et interpréter les résultats obtenus.

[catamat]

Bonjour,

Tu dois avoir dans ton cours les théorèmes donnant les solutions des équations différentielles du type y'=ay et y'=ay+b