Montrer qu'un anneau est idéal de Q[X]

[Judor33]

Bonjour !

J'ai pu prouver avec succès qu'A est un anneau ( en prouvant que est sous-anneau de )
Maintenant je bug pour la 2ème question, j'ai du mal à prendre en main en fait...

Un petit coup de main pour savoir où commencer svp ?

Merci !

Guillaume

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Que faut-il que tu vérifies pour t'assurer que est un idéal de ? (Revois ton cours au besoin).

[Judor33]

Et bien A=Q[X] est un anneau commutatif, donc je dois prouver que je crois.

Mon problème ici est que je n'arrive pas à comprendre la "forme" des éléments de I. C'est l'ensemble des racines de

[GaBuZoMeu]

Au temps pour moi, il s'agit de montrer que est un idéal de , et pas de .

I est parfaitement décrit dans ton message. C'est l'ensemble des polynômes de tels que .

Tu oublies une bonne partie des propriétés que doit vérifier un idéal d'un anneau, ici de l'anneau . Je renouvelle mon conseil avec insistance : RELIS TON COURS !

[Judor33]

D'accord merci pour ta précision.
J'entends bien que je dois prouver avant cela que I est un sous-groupe de Q muni de l'addition. C'était juste la particularité pour prouver que c'est un idéal

[GaBuZoMeu]

Eh bien alors, quel problème pour montrer cela ?

[Judor33]

Et bien c'est le suivant : Puis-je utiliser dans mes démonstrations ?

Il n'est pas décrit de cette manière dans l'énoncé mais a le meme résultat que

Etant donné que phi est racine de ce polynome ? Je n'ai aucune idée de comment faire autrement, pour tester l'inverse, la stabilité, etc

[Ben314]

Salut,
Ben, il faudrait peut-être songer à apprendre à lire : Ton énoncé (puis GaBuZoMeu) te disent explicitement que I c'est un ensemble de polynômes (à coefficients rationnels) et toi, tu propose de remplacer ça par un ensemble de rationnels.
Tu ne fait aucune différence entre un polynôme et un rationnel ?

[Judor33]

Effectivement, ça n'a pas beaucoup de sens désolé.
Ma difficulté est de savoir quelle "base" utiliser pour mes démonstrations ?

Comme j'ai dis, je vais devoir prouver que I est un sous groupe donc, par exemple, que ses éléments sont inversibles. Comment le faire sans avoir les polynômes "sous la main" ?

[Ben314]

Comment le faire sans avoir les polynômes "sous la main" ?

Je comprend pas ce que tu veut dire.
Si tu veut montrer que I est un sous groupe de (c'est à dire un sous groupe additif ) et qu'en particulier l'opposé (*) d'un polynôme P de I est lui même dans I, ben y'a rien de plus simple :
On prend un polynôme quelconque de I, c'est à dire un tel que et il faut montrer que le polynôme est lui même dans I c'est à dire qu'il faut regarder deux trucs :
- As-t-on forcément (**) ?
- As-t-on forcément (**) ?

(*) En général, on parle de "symétrique" pour une loi absolument quelconque. Pour une loi notée additivement comme ici, on parle plus spécifiquement de "l'opposé". Et c'est pour une loi notée multiplicativement que l'on parle de "l'inverse".
(**) i.e. pour absolument n'importe quel polynome P vérifiant les hypothèses sus-mentionnés.

P.S. : Une fois que tu aura montré "à la main" que I est un idéal (ce qui montrera au moins que tu comprend de quoi il retourne), tu pourra aussi le re-démontrer en utilisant un truc archi classique pour montrer qu'un ensemble est un idéal : montrer que c'est le noyau d'un morphisme d'anneau.