Problème d'optimisation

[lilimo930]

Bonjour à tous
Voici le problème que j'ai du mal à résoudre .

Dans un repère orthonormé (O; i; j), on considère le cercle C de centre O et de rayon 1 et le point I de coordonnées (1;0)
M et N sont 2 points de C tels que la droite (MN) soit perpendiculaire en H à la droite (OI).

On note x l'abscisse du point H, avec 0<=x<=1

Quelle est la position du point H pour laquelle l'aire du triangle MON est maximale ? Justifier la réponse.

Merci de votre aide par avance

[lyceen95]

Quelle est la formule qui donne la surface d'un triangle ?
Dès que tu aras retrouvé cette formule dans ta mémoire, la réponse devrait te sauter aux yeux.

[mathelot]

Bonjour,
(C) est le cercle trigonométrique. M a pour coordonnées
N a pour coordonnées

est l'angle au centre

l'aire à maximiser est une fonction de . On remarque que l'aire est également une fonction de x.

[lilimo930]

Quelle est la formule qui donne la surface d'un triangle ?
Dès que tu aras retrouvé cette formule dans ta mémoire, la réponse devrait te sauter aux yeux.

Merci beaucoup pour ta réponse mais même en ayant trouvé je reste bloqué

[mathelot]

tu es en classe de Seconde ? si oui, exprimer l'aire en fonction de x (pour l'ordonnée de M, appliquer le théorème de Pythagore)

[lilimo930]

tu es en classe de Seconde ? si oui, exprimer l'aire en fonction de x (pour l'ordonnée de M, appliquer le théorème de Pythagore)

D'accord merci beaucoup

[mathelot]

Calcule MH en fonction de x grâce au théorème de Pythagore

[lilimo930]

Je n'y arrive pas, je désespère

[lyceen95]

Quelle est la formule qui donne la surface d'un triangle ?

Tu dis que tu sais... mais je voudrais vérifier cela.

[lilimo930]

Quelle est la formule qui donne la surface d'un triangle ?

Tu dis que tu sais... mais je voudrais vérifier cela.

A=(base*hauteur)/2

[lyceen95]

Ok, c'est exactement je que je voulais lire.

Mathelot a donné des indications. Connais tu certaines formules trigonométriques.

[lilimo930]

Ok, c'est exactement je que je voulais lire.

Mathelot a donné des indications. Connais tu certaines formules trigonométriques.

Oui mais notre professeur nous a signalé qu'il n'y avait pas besoin de la trigonométrie

[lyceen95]

Ok. Pourquoi tu ne donnes pas cette information au début ?
Du coup, quels sont les choses que tu as étudiées récemment ?

[lilimo930]

Ok. Pourquoi tu ne donnes pas cette information au début ?
Du coup, quels sont les choses que tu as étudiées récemment ?

Les probabilités, les suites, les fonctions.

[lyceen95]

On se doute bien que les probabilités ou les suites, ça ne va pas nous servir ici. Reste les fonctions.
Est-ce que tu as entendu parler des dérivées ?

Hier , Mathelot te parlait de Pythagore.

Regardons le triangle OHM.
H a pour coordonnées (0,x) ; OM a pour longueur 1 (le rayon de notre cercle).
Question 1. Quelle est la longueur de HM ?
Question 2. Quelle est la surface du triangle OHM ?
Question 3. Quelle est la surface du triangle OMN ?

[mathelot]

Regardons le triangle OHM.
H a pour coordonnées (x;0) ;
Question 2. Quelle est la surface du triangle OHM ?

on parle plutôt d'aire que de surface. L'aire est la mesure d'une surface. Il faut bien distinguer l'aire de la surface car il existe des surfaces non quarrables,i.e, dont l'aire ne peut pas être calculée (par exemple, la coupe plane d'un oursin)

[lilimo930]

On se doute bien que les probabilités ou les suites, ça ne va pas nous servir ici. Reste les fonctions.
Est-ce que tu as entendu parler des dérivées ?

Hier , Mathelot te parlait de Pythagore.

Regardons le triangle OHM.
H a pour coordonnées (0,x) ; OM a pour longueur 1 (le rayon de notre cercle).
Question 1. Quelle est la longueur de HM ?
Question 2. Quelle est la surface du triangle OHM ?
Question 3. Quelle est la surface du triangle OMN ?

Je vais essayer de faire cela et vous en reparle plus tard. Merci

[mathelot]

un exemple de calcul avec de la trigonométrie, on te laissera écrire ta démonstration à toi sans trigo,c'est promis , pour faire plaisir à ton prof de maths...
Soit l'angle au centre
appartient à l'intervalle


l'aire du triangle OHM rectangle en H vaut:
l'aire du triangle OMN vaut le double:
or nous avons l'identité
mézalor,


l'aire du triangle OMN est donc maximale pour , M se situe
alors à l'intersection du cercle trigo et de la 1ère bissectrice du repère, d'équation y=x

La démonstration sans trigonométrie, requérant la variable x , est bien différente de celle ci-dessus!