Suites numériques- exercice term s

[Clarinette007]

Bonjour,
C'est mon premier devoir de maths du cned , je suis en terminale s et je bloque sur ces deux questions. J'ai commencé l'exercice mais j'ai l'impression que mon raisonnement est faux, surtout que ça bloque pour la deuxième question qui découle de la première.

Soit (un) la suite définie par son premier terme u0 et par la relation de récurrence: u n+1 =f(u n) où f est définie sur R par f(x)=x-x^2
1- Dresser le tableau de variation de f sur R.
2-Déterminer le sens de variation de la suite (u n)

voilà mon raisonnement:
1- f(x)=x-x^2 on se trouve dans cette situation u+v=u'+v' avec u=x et v=-x^2 soit u'=1 et v'=-2x donc u'+(-v')= 1-2x = -x (je pense que c'est là que ça cloche ?) ainsi f est décroissante sur R.
2-Comme f est décroissante, je ne peux pas utiliser de raisonnement par récurrence, du coup je fais comment pour déterminer le sens de variation de la suite (u n) ?
Voilà, j’espère que vous pourrez m'aider, merci d'avance.

[LB2]

Bonjour,

ton calcul de dérivée est bon jusqu'à f'(x)=1-2x
Mais 1-2x n'est pas égal à -x
Tu vas avoir un tableau de variations différent pour f
2. Il y a deux techniques :
soit calculer u(n+1)-u(n) ce qui revient à étudier le signe de f(x)-x
soit utiliser la monotonie de f, mais attention cela dépend de la position relative de u0 et u1, et lorsque f est décroissante, c'est plus compliqué (on peut alors considérer fof qui est croissante, et les sous suites u(2n) et u(2n+1))

[sofianmakhlouf]

Bonjours
il suffit de calculer U(n+1)-U(n) et voir qu'il est négatif.
Je croit qu'il y'a une troisième question
3) Etudier la convergence de la suite selon U(0).

[Clarinette007]

Bonjour,

ton calcul de dérivée est bon jusqu'à f'(x)=1-2x
Mais 1-2x n'est pas égal à -x
Tu vas avoir un tableau de variations différent pour f
2. Il y a deux techniques :
soit calculer u(n+1)-u(n) ce qui revient à étudier le signe de f(x)-x
soit utiliser la monotonie de f, mais attention cela dépend de la position relative de u0 et u1, et lorsque f est décroissante, c'est plus compliqué (on peut alors considérer fof qui est croissante, et les sous suites u(2n) et u(2n+1))

C'est ce que je pensais, et je sais que ça peut paraître idiot mais je ne sais pas comment interpréter f'(x)=1-2x

[Clarinette007]

Bonjours
il suffit de calculer U(n+1)-U(n) et voir qu'il est négatif.
Je croit qu'il y'a une troisième question
3) Etudier la convergence de la suite selon U(0).

oui il y a effectivement une autre question
c'est celle-ci :" montrer, par récurrence, que pour tout n de N, u n<ou=-2^(2^n)."

[Clarinette007]

voilà ce que j'ai mis pour la question 3:
On note P(n) : pour tout n de N, u n<ou=-2^(2^n)
Vérifions P(0) est vraie.
P(0): u0<ou=-2^(2^n), -2<ou=-2^(2^n) donc P(0) est vraie.
Soit un entier naturel n. Supposons P(n) vraie et montrons P(n+1) vraie:
(j'ai donc mis sur mon brouillon que je devais démontrer: u n - u n^2 <ou= -2^(2^n+1))
un+1-un=un-un^2-un=-un^2 , 2^2^n^2<ou=un^2
un<ou=-2^2^n et 2^2^n^2<ou=un^2
un+2^2^n^2<ou=-2^2^n+un^2
un-un^2<ou=-2^2^n-2^2^n^2
(voilà, après je ne sais pas comment me débarrasser du -2^2^n^2, d'ailleurs je ne sais même pas si mon raisonnement est correct)

[sofianmakhlouf]

On a (2*2*n)*2=(2*(2*n X2)=2*2*(n+1)

la formule est (a*b)*c=a*(bc)

[Clarinette007]

voilà ce que j'ai mis pour la question 3:
On note P(n) : pour tout n de N, u n<ou=-2^(2^n)
Vérifions P(0) est vraie.
P(0): u0<ou=-2^(2^n), -2<ou=-2^(2^n) donc P(0) est vraie.
Soit un entier naturel n. Supposons P(n) vraie et montrons P(n+1) vraie:
(j'ai donc mis sur mon brouillon que je devais démontrer: u n - u n^2 <ou= -2^(2^n+1))
un+1-un=un-un^2-un=-un^2 , 2^2^n^2<ou=un^2
un<ou=-2^2^n et 2^2^n^2<ou=un^2
un+2^2^n^2<ou=-2^2^n+un^2
un-un^2<ou=-2^2^n-2^2^n^2
(voilà, après je ne sais pas comment me débarrasser du -2^2^n^2, d'ailleurs je ne sais même pas si mon raisonnement est correct)

du coup ça fait : un-un^2<ou=-2^2^n-2^2^n+1 ?

[sofianmakhlouf]

Très bien
Et on a -2^2^n-2^2^n+1 inférieure à Et on a 2^2^n+1
et tu gagne

Juste t regarde P(0) est vrai? tu a le U?.

[sofianmakhlouf]

Et on a -2^2^n-2^2^n+1 inférieure à -2^2^n+1

[Clarinette007]

c'est bon pour la question 3 j'ai réussi, par contre je sais que c'est idiot mais je n'ai toujours pas déterminé le sens de variation de f à la question 1, je pense que f'(x)=1-2x=-2 mais je bloques pouvez vous m'aider s'il vous plait ?

[Clarinette007]

Au fait la question suivante (3b) est : en déduire lim u n
j'ai donc dit que u n est décroissante car un+1 - un=-un^2 et par conséquent lim u n =- infini
mais je dois dire que je ne suis vraiment pas sure de ma réponse....

[sofianmakhlouf]

elle est décroissante donc elle admet une limite.
Tu utilisera (3a).

[Clarinette007]

elle est décroissante donc elle admet une limite.
Tu utilisera (3a).

oui je comprend, mais là je sature et je ne vois pas quesqu'il faut retirer de 3a pour trouver la limite de u n ...
Vous pouvez d'avantage m'aiguiller s'il vous plait car là je m'embrouille complètement