Exercice sur les suites numériques

par **patate1** » 21 Fév 2008, 16:30

on pose pour tout entier naturel non nul n :
Un=1+1/2+...+1/n et Vn=1+1/22+...+1/n2

1) Vérifier que les suites U et V sont croissantes.

2) A l'aide d'un tableur, émettre une conjecture sur la convergence des suites U et V.

3)a) Démontrer que pour tout entier m1, U(2m)-U(m)1/2 [1]

b) Ecrire l'inégalité [1] successivement pour m=1, m=2, m=4, m=8, ... , m=2n-1 puis additionner membre à membre ces deux inégalités.
En déduire que U2n1+n/2

c) En déduire que la suite U n'est pas majorée et déterminer la limite de la suite U.

4)a) Démontrer par récurrence que pour tout entier n non nul, Vn2-1/n.

b) En déduire que la suite V est convergente.

Je n'ai réussi que la premiere question, quelqu'un pourrait m'aider pour la suite???

Merci d'avance

par **Noemi** » 21 Fév 2008, 16:35

Question 2, utilise comme indiqué un tableur pour établir une conjecture sur la convergence.
Question 3, qu'elle est l'inégalité ?

par **patate1** » 21 Fév 2008, 16:39

Pour la question 2, on n'a pas vu comment utiliser un tableur avec les suites...

Et pour la 3, l'inégalité n'a pas marché, c'est pour tout m superieur ou égal a 1, U(2m)-U(m) superieur ou égal a 1/2

merci d'avance...

par **Noemi** » 21 Fév 2008, 16:53

Utilise le tableur pour calculer les sommes
Un=1+1/2+...+1/n et Vn=1+1/2^2+...+1/n^2
en faisant croitre n.

par **patate1** » 21 Fév 2008, 17:06

Merci, je vais maintenant chercher a comprendre le fonctionnement d'un tableur :hein:

par **patate1** » 21 Fév 2008, 17:19

Par contre, quelqu'un pourrait m'aider pour la suite?

par **Noemi** » 21 Fév 2008, 17:28

Ecris la relation U(2m)-U(m), simplifie la et minore l'expression pour trouver l'inégalité.

par **patate1** » 21 Fév 2008, 17:37

Je pense que je dois me tromper, je trouve U2m-Um=1/2m
...

par **Noemi** » 21 Fév 2008, 17:39

Un=1+1/2+...+1/n
U(2m) - U(m) = 1 + 1/2 + .... + 1/(2m) - (1 + 1/2 + .... + 1/m)
= 1/(m+1) + 1/(m+2) + .... 1/(2m)

par **patate1** » 21 Fév 2008, 17:41

Je comprends mon erreur...
J'essaye de voir si j'y arrive et je vous montre tout ça, merci!!

par **patate1** » 21 Fév 2008, 18:07

Alors, voila ce que j'ai trouvé :
U2m-Um=1/(m+1)+1/(m+2)+...+1/(2m)
avec 1/2m comme plus petit terme

on a donc
1/(m+1)>=1/2m
1/(m+2)>=1/2m
.
.
.
1/m+m>=1/2m

En ajoutant tout ça on trouve
1/(m+1)+1/(m+2)+...+1/(m+m)>=m*1/2m
>=1/2

C'est bon?

par **Noemi** » 21 Fév 2008, 18:07

Oui c'est juste.

par **patate1** » 21 Fév 2008, 20:43

Je suis désolée mais j'ai encore un dernier probleme sur cet exo, pour la question 3b, je suis bloquée...Quelqu'un a une idée de ce que je peux faire?

par **patate1** » 21 Fév 2008, 20:50

mon probleme, c'est que je ne vois pas comment écrire l'expression avec m=2^(n-1)

par **Noemi** » 21 Fév 2008, 21:57

Ecris les inégalités :
U2 - U1 <= 1/2
U4-U2 <= 1/2

U(2^n) - U(2^(n-1)) <= 1/2
Puis additionne membre à membre.

par **patate1** » 22 Fév 2008, 12:04

Noemi a écrit:U(2^n) - U(2^(n-1)) <= 1/2.

C'est justement cette inégalité que je n'arrive pas à écrire...

par **Noemi** » 22 Fév 2008, 12:11

L'inéquation est U(2m) - U(m) < ou = 1/2
si m = 2^(n-1), 2m = 2^(n-1+1) = 2^n
Soit U(2^n) - U(2^(n-1)) < = 1/2

par **patate1** » 22 Fév 2008, 12:15

pour 2m je pensais que c'était 2*2^(n-1) ...et l'inégalité il faut pas remplacer U par 1+1/2+...+ ??

par **Noemi** » 22 Fév 2008, 12:24

Pour 2m c'est bien 2*2^(n-1) qui est égal à 2^(1+n-1) = ....
Tu utilises ensuite l'inégalité.

par **patate1** » 22 Fév 2008, 12:28

Soit U(2^n) - U(2^(n-1)) < = 1/2
1+1/2+...+1/2^n - 1+1/2+...+1/2^(n-1)<=1/2
C'est ça?

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