Suites arithmétiques et géométriques

[Emojigrin]

Bonjour à tous,
Voilà un exo qui me pose problème, j'en ai deux de ce types mais je pense que si je comprend celui-là le deuxième sera simple:

Soit V(n) la suite définie par

U(n): U(0)=4
∀n≥1, U(n+1)= −6+U(n)

V(n): V(n)= \sum_{k=1}^{n}{U(k)}

Exprimer V(n) en fonction de n.

[pascal16]

Un suite arithmétique.
tu as Un=combinaison linéaire de n², n et constante.
on compose avec la somme des n², n et constantes

[pascal16]

Un est pas très arithmétique

[pascal16]

Je me parle à moi-même
Un est arithmétique, Un est une combinaison linéaire de constante et de n
c'est V qui est donc une combinaison linéaire de n², n et constante.

[Emojigrin]

Je suis vraiment désolé mais je n'ai pas vraiment compris ton raisonnement...

[capitaine nuggets]

Salut !

1. D'après le cours, est une suite arithmétique de premier terme et de raison donc (toujours d'après le cours) quel que soit l'entier , . En particulier, si cela est vrai pour un entier quelconque, cela reste vrai si l'on suppose compris (au sens large) entre et , avec .

2. On obtient alors égalités :









Ainsi, si l'on somme membre à membre ces égalités, on a :

.

3. Dans la somme du membre de droite : , on a n termes : , , , , ..., et . Dans ces termes, on a fois , et la somme que l'on peut réécrire (en factorisant par ) donc :




Que vaut en fonction de n la somme des premiers entiers naturels ?

4. Enfin on connait le membre de gauche : , donc cela te donne :

.

Je te laisse faire les calculs et trouver l'expression de v_n en fonction de n.

[Emojigrin]

merci