Fonction réciproque

[ahrachman]

bonjour j ai une fonction a une formule f(x)= 1/(x+2) +1/(x-2).
cette f est continue et décroissante sur ]-2;2[, donc elle accepte une fonction réciproque.
l ensemble de départ est IR et ensemble d arrive est ]-2;2[ mais je ne peux pas déterminer la formule de la fonction réciproque.
comment je peux la déterminer??

[aviateur]

Bonjour
rien de compliqué ici, parce que cela revient à savoir résoudre y=f(x) qui est ni plus ni moins que qu'une équation de second degré que tout le monde sait résoudre.

[Lostounet]

bonjour j ai une fonction a une formule f(x)= 1/(x+2) +1/(x-2).
cette f est continue et décroissante sur ]-2;2[, donc elle accepte une fonction réciproque.
l ensemble de départ est IR et ensemble d arrive est ]-2;2[ mais je ne peux pas déterminer la formule de la fonction réciproque.
comment je peux la déterminer??

Salut,
Comme a dit aviateur, tu sais que l'image y par la fonction f de x est égale à 1/(x+2)+1/(x-2) = y
Tu as donc y en fonction de x

Donc en fait si je te donne x, tu peux me calculer y.

Par contre si je te donne y (le nombre final, saurais-tu me donner un x qui convient ?)

Grâce à des justifications sur l'existence de la fonction récriproque etc, on peut avoir une réponse affirmative (oui on peut). Mais cela ne permet pas encore d'expliciter cette fonction réciproque.

Il faut donc exprimer x en fonction de y...
Donc il faut essayer d'exprimer x=..... en fonction de y...

Essaye de réduire au même dénominateur, multiplier par des quantités bien choisies les deux membres...

[ahrachman]

merci mes potes, oui je fais tous ca et je trouve les deux solutions mais les deux solutions ne sont pas f réciproque de ma fonction

[Lostounet]

Tu trouves quoi alors?

[ahrachman]

x1=(1-racine(1-4y²))/x et x2=(1+racine(1-4y²))/x mais 1erment Df n égale pas IR 2ement lorsque je remplace y par f(1), le résultat différent 1

[Lostounet]

x1=(1-racine(1-4y²))/x et x2=(1+racine(1-4y²))/x mais 1erment Df n égale pas IR 2ement lorsque je remplace y par f(1), le résultat différent 1

Ce ne sont pas les bonnes expressions...
Revois le calcul.

[ahrachman]

1/(y+2) +1/(y-2) = x
(y-2+y+2)/(y²-4) = x
(y-2+y+2) = x*(y²-4)
2y = xy²-4x
xy²-2y -4x = 0
delta= 4-4*x*(-4x) = 4+16x²

tous ca me donne
y1 = (2-racine(4+16x²))/2x et y2= (2+racine(4+16x²))/2x

y1 = (1-racine(1+4x²))/x et y2 = (1+racine(1+4x²))/x

[Lostounet]

1/(y+2) +1/(y-2) = x
(y-2+y+2)/(y²-4) = x
(y-2+y+2) = x*(y²-4)
2y = xy²-4x
xy²-2y -4x = 0
delta= 4-4*x*(-4x) = 4+16x²

tous ca me donne
y1 = (2-racine(4+16x²))/2x et y2= (2+racine(4+16x²))/2x

y1 = (1-racine(1+4x²))/x et y2 = (1+racine(1+4x²))/x

C'est mieux mais je vois pas pourquoi tu as interverti x et y dès le début, ça risque de t'embrouiller!

Donc en fait, a priori:
x(y) = (1-racine(1+y²))/y
Ou
x(y) = (1+racine(1+y²))/y

Déjà ces formules ne sont pas définies en y=0 mais sont chacune définies pour tout y.

Est-ce que 0 n'a pas d'antécédent?

Ensuite il faut dresser le tableau de variations de f(x) et en déduire celui de f^(-1) sur ]-2;2[.

[mathelot]

1/(y+2) +1/(y-2) = x
(y-2+y+2)/(y²-4) = x
(y-2+y+2) = x*(y²-4)
2y = xy²-4x
xy²-2y -4x = 0
delta= 4-4*x*(-4x) = 4+16x²

tous ca me donne
y1 = (2-racine(4+16x²))/2x et y2= (2+racine(4+16x²))/2x

y1 = (1-racine(1+4x²))/x et y2 = (1+racine(1+4x²))/x

C'est mieux mais je vois pas pourquoi tu as interverti x et y dès le début, ça risque de t'embrouiller!

Donc en fait, a priori:
x(y) = (1-racine(1+4y²))/y
Ou
x(y) = (1+racine(1+4y²))/y

Déjà ces formules ne sont pas définies en y=0 mais sont chacune définies pour tout y.

Est-ce que 0 n'a pas d'antécédent?

Ensuite il faut dresser le tableau de variations de f(x) et en déduire celui de f^(-1) sur ]-2;2[.

[capitaine nuggets]

cette f est continue et décroissante sur ]-2;2[, donc elle accepte une fonction réciproque.
l ensemble de départ est IR et ensemble d arrive est ]-2;2[ mais je ne peux pas déterminer la formule de la fonction réciproque.
comment je peux la déterminer??

Une remarque : est continue sur et est strictement décroissante sur et donc on a bien une bijection comme tu l'as dit.

[Lostounet]

Oui pardon j'ai oublié le 4.

[mathelot]

il y a deux candidats pour f^{-1}:

et

l'étude des variations de et de montre que est la réciproque de f

[ahrachman]

il y'a qlq un trouver la formule de la fonction reciproque?

[ahrachman]

il y a deux candidats pour f^{-1}:

et

l'étude des variations de et de montre que est la réciproque de f

mais ces deux solution ne sont pas défini sur 0 la fonction réciproque doit etre définir sur IR ver ]-2;2[ et si je vais calculer f^{-1}(f(1)) je n trouve pas 1.

[mathelot]

il y'a qlq un trouver la formule de la fonction reciproque?

définie sur par prolongement
par continuité en y=0

[ahrachman]

il y a deux candidats pour f^{-1}:

et

l'étude des variations de et de montre que est la réciproque de f

mais ces deux solution ne sont pas défini sur 0 la fonction réciproque doit etre définir sur IR ver ]-2;2[ .

[Lostounet]

il y a deux candidats pour f^{-1}:

et

l'étude des variations de et de montre que est la réciproque de f

mais ces deux solution ne sont pas défini sur 0 la fonction réciproque doit etre définir sur IR ver ]-2;2[ .

Tu dois traiter y=0 à part...trouver x tel que f(x)=0

Et définir x(0) à part.
Ensuite suis l'indication de Mathelot: seule x2(y) convient... pour y non nul.

[Ben314]

Salut,
Je comprend pas trop ce que vous bricolez avec vos "formules qui se prolongent par continuité en ".
Quand on résous le bidule, on tombe sur du et il me semble que plutôt que de "sortir d'un chapeau" les fameuses formules (pour ensuite tenter de corriger le tir dans le cas ...), ça me semblerait quand même infiniment plus normal de constater que (*) n'est une équation du second degré que lorsque (et que, pour , c'est une bête équation du 1er degré qu'un collégien sait parfaitement résoudre...) !!!

Bref, un petit "rappel" : les "formules magiques" vu au Lycée pour résoudre , ben elle ne sont valable que pour . Et lorsque , ben là, c'est niveau (début) de collège...

[ahrachman]

mais si je pose f^{-1}(x)= (1-racine(1+4x²))/x et f^{-1}(0)=0 après l étude la continuité de f^{-1}(x) en 0 je trouve n' est pas continuer mais lorsque je trace la Courbe de f^{-1} par symétrie d'axe x=y, elle est continue en 0. je pense ce prblm non??