Calcul de polynôme

[Ainow]

Bonsoir je viens sur ce forum car je me retrouve bloqué dans un exercice, " Soit Pn le polynôme défini par
Pn(x) = , la question est " Montrer que Pn ainsi que toute ses dérivées prennent des valeurs entières en 0 et ."
Bon déjà à priori c'est vrai pour Pn vu que Pn(0) = 0 et Pn(a/b) = 0 , en ravanche pour les dérivées je bloque , pour la première dérivée j'ai trouvé et j'ai chercher un moyen d'exprimer les autres dérivés selon une formule plus générale mais je n'ai pas trouvé.

[capitaine nuggets]

Salut !

Remarque qu'ici on peut poser , avec et (et même tu as , mais je ne sais pas si ce sera forcément utile). Cette écriture de comme produit de deux fonctions et dont on peut déterminer facilement les dérivée d'ordre quelconque (ce sont des fonctions polynomiales) te permettent ainsi de faire appel à la formule de Leibniz :



Je pense que ça peut être un bon début

[Ben314]

Salut,

Bonsoir je viens sur ce forum car je me retrouve bloqué dans un exercice, " Soit Pn le polynôme défini par
Pn(x) = , la question est " Montrer que Pn ainsi que toute ses dérivées prennent des valeurs entières en 0 et ."

Je sais pas où tu as pioché cet exercice, mais c'est complètement faux ton truc : le terme dominant de P est donc si on dérive fois , ça donne la constante qui, sans hypothèse sur , n'a pas la moindre raison d'être entière.

[Black Jack]

Salut,

Par exemple avec n = 2

P2(x) = x²*(bx-a)²/2 = x²(b²x²+a²-2abx)/2 = (1/2).(b².x^4 + a²x² - 2abx³)

P2'(x) = (1/2).(4.b².x³ + 2a²x - 6abx²)
P2'(a/b) = (1/2).(4.a³/b + 2a³/b - 6a³/b) = 0
P2'(0) = 0

P2''(x) = (1/2).(12.b².x² + 2a² - 12abx)
P2''(a/b) = (1/2).(12.a² + 2a² - 12a²) = 6a²
P2''(0) = a²

P2'''(x) = (1/2).(24.b².x - 12ab)
P2'''(a/b) = (1/2).(24.ab - 12ab) = 6ab
P2'''(0) = -6ab

P2''''(x) = (1/2).(24.b²) = 12b²

Les différentes valeurs trouvées pour les dérivées en 0 ou a/b (0, 6a², a², 6ab , -6ab, 12b²)
montrent que a et b ne peuvent pas être quelconques (dans le cas particulier où n = 2 ... et a fortiori pour n quelconque)

[capitaine nuggets]

Oulah oui ! Ben314 et Black Jack ont raison ! J'ai supposé a et b entiers parce que j'ai déjà vu cet exercice pour montrer par l'absurde l’irrationalité de , mais on doit supposer a et b entiers, avec b non nul !