Équation différentielle

[Cocomathé]

Bonjour à tous, j'aimerais savoir pourquoi la fonction qui à t associe 1/(1-t)^2 est solution de l'équation différentielle: t(t-1)x"+3x'-6x=0

Merci d'avance

[Pseuda]

Bonjour,

On pose : x(t)=1/(1-t)^2. On calcule x'=2/(1-t)^3, x"=6/(1-t)^4, et on vérifie qu'on a bien pour tout t <>1, t(t-1)x"+3x'-6x=0.

[Cocomathé]

Je sais comment vérifier mais je ne sais pas comment l'obtenir

[pascal16]

Niveau bac, on ne fait pas encore de théorie de calcul différentiel, simplement ce que ça veut dire et quelques équations différentielles à coefficients constants. On te donne donc la solution pour les équations plus compliquées.

[edit] d'où l’intérêt de poster de poster dans la bonne section

[Cocomathé]

Je suis en licence 3 de mathématiques

[Ben314]

Salut,
Pour ce type de truc, je pense pas qu'il y ait bien de théorie générale "marchant à tout les coups" à part évidement Cauchy-Lipschitz qui te dit que pour un t0 donné distinct de 0 et de 1 et a,b fixés, il y a une unique solution définie au voisinage de t0 telle x(t0)=a et y(t0)=b.

Sinon, les trucs "à essayer" dans des cas pareil, vu le coeff devant le y'', c'est pas con de regarder ce que donne x(t)=t^alpha [puis x(t)=(t-1)^beta] pour voir s'il y aurait pas des valeurs "remarquables" pour alpha [et beta].
Ici on trouve alpha=3 et alpha=-2 et alpha=3 incite à tester un polynôme de degré 3 et il y en a effectivement un qui est solution, à savoir
Puis, on trouve beta=3 et beta=-2 et on constate que, miraculeusement, si beta=-2 tout s'annule.
Et évidement c'est fini vu que l'équation est linéaire de degré 2 et qu'on a deux solution linéairement indépendantes (modulo qu'on peut, ce qui toujours amusant, regarder ce que donne les problèmes de Cauchy aux points singulier de l'équation, c'est à dire chercher si, pour a,b fixés, il y a ou pas une/des solution(s) telle(s) que x(0)=a et x'(0)=b puis une/des solution(s) telle(s) que x(1)=a et x'(1)=b)

Sinon, un truc "standard", c'est d'essayer des fonction développable en série entière, voire en série de Laurent (ici, ça semble pas con de les prendre centré en 0 ou en 1, mais c'est pas forcément la bonne option vu que ce sont justement des points "critique" de l'équation).