Idéal

[Vlad-Drac]

Bonjour !
Montrer qu'un sous-ensemble non vide ã d'un anneau A est un ideal si et
seulement si, pour tout a, b de ã
et tout c de A, on a
a + bc appartient a ã :

=>
si ã ideal de A alors pour tout a,b appartient a ã, et pour tout c appartient à A
on a bc appartient a ã et donc a+bc appartient à ã
<=
il faut montrer que ã est un sous groupe de A
(pour tout x,y appartient a ã, xy appartient a ã et pour tout x de ã, x^-1 appartient a ã)
en posant a=0 on a pour tout b,c appartient à ã, bc appartient à ã
pour l'inverse par contre je ne sais pas trop.

[Elias]

Salut,

Premierement, je suppose que ton A est commutatif (donc on parle d'idéaux bilatères).

L'implication ==> est ok.

Ensuite, oulah, tu confonds un peu tout.
Ici, (A,+,x,0,1) est un anneau donc A est muni d'une loi notée "+" qui fait de lui un groupe et une loi "x" qui fait de lui un anneau. Le neutre pour la loi "+" est noté 0 et le neutre pour la loi "x" est noté 1.

Donc ici, par exemple, un sous ensemble H de A est un sous groupe de (A,+) si :
1) H est non vide ;
2) pour.tous x,y dans H, x+y est dans H (stabilité par loi de composition du groupe et non pas xy dans H qui exprime la stabilité pour la loi x)
3) pour tout x dans H, -x est dans H (stabilité par inverse pour la loi de groupe et non pas x^(-1) dans H qui exprime la stabilité par inverse pour la loi x).

Les conditions 2 et 3 peuvent être remplacées par

- pour tous x,y dans H, x-y est dans H.

Tes notations sont mauvaises dans ta preuve car tu travailles avec la loi "x".

Donc ici, rappelons que I est un ideal de A si

1) (I,+) est un sous groupe de A
2) pour tout c dans A et b dans I, bc est dans I.

Pour le 1), on s'en sort en disant d'abord que H est non vide puis en prenant c=-1 (avec" l'autre" définition de sous groupe évoquée plus haut)

Ensuite, cela nous permet de dire que 0 est bien dans ton idéal et donc uniquement à ce moment là, on peut prendre a=0 et on obtient 2).

[Vlad-Drac]

haaaaaa ...
merci beaucoup cest tout de suite plus clair !!