Problème d'optimisation

[RD04]

Bonjour à tous,

je n'arrive pas à résoudre ce problème:

Le curé d'une paroisse rurale désire reconstruire son église détruite par le feu en y insérant plusieurs vitraux ayant tous la forme d'un rectangle surmonté d'un demi-cercle. Le périmètre total de chaque vitrail peut être variable; disons qu'il doit être de P mètres. Trouvez le rayon du demi-cercle, en fonction de P, qui maximiserait l'aire de tous les vitraux de telle sorte que la quantité de lumière passant à travers eux soit la plus grande possible. Pour la solution du problème, considérez P comme une valeur fixe évidemment positive.

Image du vitraux:
[img]https://www.dropbox.com/s/mnoazyrv6olpv8w/20170605_2035462.jpg?dl=0[/img]

Première question)

Comment trouver le rayon du demi-cercle, en fonction de P?

La démarche que j'ai fait:

J'ai trouvé une fonction pour le périmètre: P=2r + 2h + πr
et pour l'aire d'un vitraux: A=2rh + πr^2

En isolant h dans la fonction P, je peut finalement trouver A(r)=2r(-πr/2 - r ) + πr^2

Puis en dérivant A(r), j'obtiens A'(r)=-4r + πr - π
en trouvant les points critiques de A(r), c'est-à-dire lorsque A'(r)=0, r =0 ou r= π/(-4 + π)

En faisant cela, le rayon serait négatif... ce qui n'est certainement pas bon.

Merci d'avance pour votre aide.

[chan79]

salut
aire du demi-disque=

[Tiruxa47]

Bonjour
De plus P a disparu dans l'expression de h en fonction de P

[pascal16]

pour la dérivée.
attention r et h dépendent l'un de l'autre, on ne sait pas dériver (au niveau lycée) une expression qui mélange r et h.
Il faut avec les équations obtenues exprimer r ou h en fonction de P, puis le mettre dans la seconde expression.
tu auras surface(r) ou surface(h) avec une seule variable que tu pourras dériver en considérant P comme une constante.

Pas facile à expliquer, mais si tu devrais y arriver
D'un point de vue physique : la solution est en fait une proportion entre h et r, ensuite toute les solutions s'en déduisent à une échelle près, P(r) est donc linéaire du genre P=(4+3pi/2)r .

[Tiruxa47]

Dans l'énoncé il est dit :

Pour la solution du problème, considérez P comme une valeur fixe évidemment positive.

Donc on peut calculer h en fonction de r et obtenir l'aire en fonction de la seule variable r.
P étant une constante, mais celle ci peut effectivement prendre la valeur qu'on souhaite (d'où l'ambiguïté, cependant ce n'est pas une variable)

[pascal16]

on ne cherche pas p max, il est inutile de dériver p en fonction de r.
on cherche la surface max, il faut donc exprimer la surface en fonction de p seul ou de r seul puis on dérive pour rechercher le max.

[RD04]

on ne cherche pas p max, il est inutile de dériver p en fonction de r.
on cherche la surface max, il faut donc exprimer la surface en fonction de p seul ou de r seul puis on dérive pour rechercher le max.

Bonjour Pascal16,

je n'ai pas fait une dérivation de P mais bien de A(r). J'ai seulement isolé h dans P=2r + 2h + πr pour pouvoir obtenir A(r) et dérivé cette fonction. Sinon j'aurait une fonction à optimiser A(r,h)=2rh + (πr^2)/2 qui contiendrait un h.

[RD04]

pour la dérivée.
attention r et h dépendent l'un de l'autre, on ne sait pas dériver (au niveau lycée) une expression qui mélange r et h.
Il faut avec les équations obtenues exprimer r ou h en fonction de P, puis le mettre dans la seconde expression.
tu auras surface(r) ou surface(h) avec une seule variable que tu pourras dériver en considérant P comme une constante.

Pas facile à expliquer, mais si tu devrais y arriver
D'un point de vue physique : la solution est en fait une proportion entre h et r, ensuite toute les solutions s'en déduisent à une échelle près, P(r) est donc linéaire du genre P=(4+3pi/2)r .

Bonjour Pascal16,

c'est ce que j'ai fait:

1)J'ai isolé h dans P=2r + 2h + πr ce qui m'as donné h = (-πr/2) - r
2) J'ai remplacé h dans A(r,h)= 2rh + (πr^2)/2 pour obtenir A(r)=2r((-πr/2) - r) + (πr^2)/2
3)J'ai dérivé A(r) une fois réduite à sa plus simple expression = - πr -4r
4) Puis trouvé le zéro qui est r=0.

Y-a-t-il une faute que je n’aperçois pas?

[chan79]

1)J'ai isolé h dans P=2r + 2h + πr ce qui m'as donné h = (-πr/2) - r

salut
P=2r+2h+ r
donc 2h=P-2r - r

aire=r²/2+2hr

remplace 2h par (P-2r - r)

même pas besoin de dériver

[pascal16]

On va tous dans le même sens, mais c'est le r=0 qui n'est pas bon
je repart de tes calculs :

P=2r+2h+ r
donc 2h=P-2r - r

aire=r²/2+2hr

remplace 2h par (P-2r - r)

donc aire=r²/2+(P-2r - r)r
aire =-(/2+2)r²+Pr

on dérive rapport à r

aire'= -2(/2+2)r+P

aire'=0 <=> r=P/(+4)
le maximum est bien atteint pour un valeur positive de r, on garde cette solution

[RD04]

Merci à tous pour votre aide.