Injection

[tricks]

Salut,

voici l'énoncé du problème:
exhiber une injection f de R dans P(N) telle que pour tout x de R, f(x) est infini et pour tout x,y de R, f(x) inter f(y) est fini.

Pourriez-vous me dire si ce que j'ai fait est juste?
il suffit de prouver le résultat pour]0,1[ et P(N)
On considère la suite u_n tel que
u1 = 10
u2 = 1000
u3 = 10000000
...
u_n = 10^(2^n -1)

Pour tout x dans ]0,1[ on consdère sa représentation en base 2.
On commence à lire les chiffres à partir du premier chiffre après la virgule.
Si x se finit par une infinité de 0, on le remplace par l'écriture terminant par une infinité de 1.

soit c_1, c_2, ... les chiffres en base 2 de x. Soit A un gros nombre qu'on va construire
au tout début A=0
Si c_i est nul on regarde le chiffre suivant: on ne fait rien sur A.
Si c_i n'est pas nul (donc égal à 1), on colle à la fin de A le nombre u_i, puis on regarde le chiffre suivant.
etc.
On va donc coller des u_i les uns derrière les autres.
Puis on peut numéroter les chiffres de A. et 1 correspond à : je prends le rang dans ma partie de N, 0 je ne prends pas

Ainsi, f(x) et f(y) ne peuvent s'intersecter que sur le partie commune de x et de y au début de leur écriture en base 2 . Par exemple si x = 0.110100100... et
y = 0.11011100... alors la partie commune est en rouge. et l'intersection ne porte que sur cette partie commune.
. Ensuite, il n'y a plus d'intersection (on le montre avec l'unicité de la décomposition en base 2 d'un nombre).

Désolé pour le manque de clareté.

Merci d'avance

[Ben314]

Salut,
Ca me semble parfaitement correct, mais il me semble qu'avec la même (très bonne) idée, on peut faire un peu plus simple :
Si à x=0.141592... (en base 10) on associe l'ensemble A={1 ; 11 ; 114 ; 1141 ; 11415 ; 114159 ; 1141592 ; ...}, il me semble que ça marche, non ?

[tricks]

Merci pour votre réponse!
Je ne vois pas d'erreur non plus.. C'est plus simple et plus naturel! Merci!

[Ben314]

Je viens de modifier le truc : en fait c'est même pas utile d'avoir un symbole de plus (donc de changer de base) pour "coder" la virgule : on peut tout à fait prendre un symbole déjà existant dans la base de départ.

De toute façon, l'idée "conductrice", c'est celle que tu as eu : le n-ième élément de A (rangé dans l'ordre croissant) doit non seulement coder le n-ième chiffre de x, mais en fait il doit coder les n premiers chiffres de x.

[tricks]

c'est vrai !
merci pour les réponses