Problème D'optimisation

[RejaneCRDn]

On souhaite réaliser une boîte de conserve en métal en forme de cylindre de volume 1L en minimisant la surface du métal employée. Le cylindre de volume donné ( soit 1L) qui a La plus petite aire totale (couvercles compris) à une hauteur égale à son diamètre. Démontrer ce résultat :

Pour cela, on pourra exprimer l'aire A(r) de La surface totale en fonction du rayon r du cylindre et vérifier qu'en notant V le volume de la boite l'équation ci-dessus et vraie.

Je sais qu'un volume d'un cylindre est égal à
Or ici h=2r donc
Or 1L = 1000cm^3
Donc
Donc
On a donc d=h=23,24894703 cm

Mais apres je ne comprends pas ce qu'il faut démontrer. Le Volume V correspond-il au Volume du cylindre calcule ci dessus ?
Parce que si oui on a :

Et donc on a
Mais à ce moment là que chercher t-on après ?
Doit-on d'abord trouver l'air A pour ensuite trouver l'équation ci dessus ?
Si oui doit-on faire l'air du cylindre ?

[siger]

bonsoir

c'est tout simple et meme trivial...!

A(r) = 2*pi*r*h + 2( pi*r^2)
1- A'(r) = 0 si h= 2r
2- V= (pi*r^2)*h
d'ou A(r) =2*pi*r^2 + 2V/r

beaucoup trop simple me semble-t-il .........???????????

[RejaneCRDn]

bonsoir

c'est tout simple et meme trivial...!

A(r) = 2*pi*r*h + 2( pi*r^2)
1- A'(r) = 0 si h= 2r
2- V= (pi*r^2)*h
d'ou A(r) =2*pi*r^2 + 2V/r

beaucoup trop simple me semble-t-il .........???????????

Merci de votre réponse, votre réponse me fait comprendre que c'est simple mais néanmoins à force de travailler dessus cela ne me paraît toujours pas correct.

À quoi correspond A'(r) ?
Et je ne comprends pas comment A'(r)=0 si h=2r sachant que cela est marqué dans l'énoncé.

Je suis d'accord avec votre 2. Mais il ne faut pas dire à quoi correspond 2*pi*r^2 puis ensuite a quoi correspond (2V)/r ?

[Razes]

Surface cylindrique
Surface d'un couvercle
Surface Totale

Le volume de notre boite est ; étant constant, on peut exprimer en fonction de . Donc:

Donc notre Surface Totale devient:

Maintenant cherche pour quelle valeur de ; est minimal.

étant une fonction de , cherchons dans quel cas sa dérivée est nulle et cherchons cette valeur de .