(nous étudierons la limite de n en +oo, donc les valeurs négatives de n ne nous intéressent pas)
Définissons d'abord un nombre X de la forme 10^-n avec n assez grand (définition d'une lim = 0)
ainsi lim(n ->+oo) X = 0
Soit logiquement lim(n->+oo) (1-X) = 1
Cependant pour tout réél n,
X >0
soit 1-X <1
Comme 1-X<1 on a:
lim(p->+oo) (1-X)^p = 0 pour tout n de IR
Et lim(p->+oo) 1^p = 1
Or, vu précedemment lim(n->+oo) 1-X = 1
Cependant même si n-> +oo, n est réél
soit n est différent de l'infini donc 1-X est très légèrement inférieur à 1
soit lim(n->oo ; p->+oo) (1-X)^p = 0
Ainsi 0 = lim(n->oo ; p->+oo) (1-X)^p =/= lim(p->+oo) (lim(n->+oo) 1-X)^p = 1
On remarque ainsi l'approximation des limites et leur enchainement possiblement faux; on pourra aussi noter autre chose de plus conséquent:
lim(n->+oo;p->+oo) (1-X)^p = 0 =/= lim(n=+oo;p->+oo) (1-X)^p = 1
En effet si n=+oo le terme X sera purement égal à 0 donc 1-X = 1 .......
Imaginez maintenant la courbe représentative de la fonction f:n->lim(p->+oo) (1-X)^p
la courbe sera pour tout réel n aura des images nulles, y compris quand n-> +oo, mais quand n=+oo, l'image est égale à 1.
On observe ainsi une discontinuité de la limite en +oo.
Tout d'abord cette démonstration suppose une condition:
il faut qu'une de ces 2 conditions soit vraie:
lim(n->oo ; p->+oo) (1-X)^p =/= lim(p->+oo) (lim(n->+oo) 1-X)^p
ou lim(n->+oo) = 0+ (et non 0)
Enfin, non pas que je doute de la véracité de la démonstration, mais la partie sur la discontinuité de la limite entre n->+oo et n=+oo me laisse perplexe et je voudrais avoir votre avis dessus.
En tout cas merci à vous de vous être brûlé le cerveau sur mon pavé
