LES MODULOS 2PI : BIZARRE !

[nanneb]

Bonjour,

Quelqu'un peut-il expliquer où se trouve mon erreur de raisonnement ?

Dans un triangle ABC indirect, isocèle rectangle en B, je veux montrer que (AC;AB)=pi/4 + 2kpi

Je suppose que je peux écrire cette propriété :
(AC;AB) + (CB;CA)+(BA;BC) = pi + 2kpi
le triangle est isocèle, donc (AC;AB) = (CB;CA) et je peux écrire :
2x (AC;AB) + pi/2 = pi + 2kpi
2x(AC;AB) = pi/2 + 2kpi
Je divise par 2 les 2 côtés de l'égalité
(AC;AB)=pi/4 + kpi

Mais ce n'est pas juste, je devrais trouver : (AC;AB)=pi/4 + 2kpi

Où est mon erreur ?

Merci d'avance pour les personnes qui prendront le temps de m'aider !

Anne

[pascal16]

2x (AC;AB) + pi/2 = 2* pi/3 + pi/2 modulo 4pi

[nanneb]

Merci pour la réponse, mais je ne vois pas comment celle-ci a été construite. Pouvez-vous m'expliquer ?

[pascal16]

(AC;AB) = pi/3 +2kpi
2(AC;AB) = 2 pi/3 +4kpi
2(AC;AB) +pi/2 = 2 pi/3 +pi/2 +4kpi

[nanneb]

Mon but est de montrer que (AC;AB)=pi/4 + 2kpi .
Et votre démarche part de l'égalité (AC;AB)=pi/3 + 2kpi dont je ne connais pas l'origine et qui est contradictoire avec ce que je cherche à démontrer.
Mon problème est que dans ma démo, je me retrouve avec un modulo pi ou lieu d'un modulo 2pi...

[Ben314]

Salut,
Il n'y a aucune erreur et ce que tu trouve est on ne peut plus juste : normalement, avec TOUTES les hypothèses que tu as, tu sait que tu devrait trouver que l'angle vaut pi/4+2k.pi
Toi, avec tes calculs, tu trouve que l'angle doit être de la forme pi/4+j.pi (j'emploie sciemment une lettre différente) et c'est évidement vrai vu que tout nombre de la forme pi/4+2k.pi est en particulier de la forme pi/4+j.pi (avec j=2k).
Le problème, c'est que tu trouve plus de solutions que ce qu'il y en a effectivement, mais ça n'a rien de surprenant vu que tu as procédé par implication et pas par équivalence en écrivant "SI le triangle est . . . ALORS on a . . . ".
Et pour finir, si tu cherche le "pourquoi" tu as plus de solution que ce qu'il y en a en réalité, ben ça provient simplement du fait que tu n'as nulle part utilisé l'hypothèse disant que le triangle ABC est indirect.
Or, si tu trace un triangle ABC direct et isocèle rectangle en B, tu constatera sur ton dessin que l'angle dont tu parle n'est pas égal à pi/4 + 2kpi mais à pi/4 + pi + 2k.pi = pi/4 + (2k+1).pi et ça explique pourquoi tu n'a pas trouvé du 2k.pi mais uniquement du j.pi.

Bref et en résumé, si tu n'utilise pas l'hypothèse "ABC est indirect", c'est on ne peut plus normal que tu trouve pi/4+k.pi et pas pi/4+2k.pi.

[nanneb]

Merci beaucoup pour votre réponse. Mais quand je fais le schéma avec un trianbe ABC direct, si je ne me trompe pas, je trouve que (AC;AB) vaut -pi/4 + 2kpi qui ne me semble pas correspondre avec la valeur que vous donnez à savoir pi/4+(2k+1)pi.
Je me trompe encore ?

[Ben314]

Effectivement : j'ai plus l'impression que j'ai dit une connerie (c'est ni la première, ni la dernière...)
Le fait que le triangle est direct, tu t'en est bien servi pour dire que l'angle en (BA,BC) était égal à +pi/2 et pas à -pi/2.

Le truc qui est sûr, c'est que ton résultat est juste, mais que tu trouve TROP de solutions.
Le tout est de comprendre pourquoi...

Je (re)regarde. . .

[nanneb]

En tous les cas, merci beaucoup de vous pencher sur le sujet car je me sens complètement démunie devant ce problème tordu...

[Ben314]

Bon, ben je trouve pas argument purement calculatoire. . .
Ce qui coute pas cher, c'est de dire que ton résultat, à savoir que (AC,AB) = pi/4 + j.pi, il signifie que
(AC,AB) = pi/4 + 2k.pi (si j est pair) ou bien que (AC,AB) = pi/4 + (2k+1).pi = 5pi/4 + 2k.pi (si j est impair) donc pour montrer que c'est forcément la première égalité qui est vrai, ben il suffit de montrer que la deuxième ne peut pas être.
Mais après, à part de dire "qu'il est clair" qu'un angle (AC,AB) = 5pi/4 dans un triangle indirect ABC c'est pas possible (les angles tels que tu les mesure doivent être plus petit que pi), ben je sais pas trop quoi écrire...

P.S. En réfléchissant un peu plus, je me dit que le fond du problème, ça concerne la notion de "triangle direct" versus les "triangles indirects" où il y a en fait un truc que je sais pas trop démontrer :
Dire que ABC est "direct", on peut par exemple prendre comme définition que l'angle (AB,AC) possède une de ces mesures entre 0 et pi. Mais autant je vois bien sur un dessin que ça implique que les angles (BC,BA) et (CA,CB) possèdent aux aussi une de leur mesure entre 0 et pi, autant je vois pas comment on le fait par le calcul.

Bref, je sais pas comment on montre qu'un triangle ABC tel que (BA,BC)=pi/2+2kpi et (AC,AB)=(CB,CA)=5pi/4+2kpi ben ça existe pas : pi/2+5pi/4+5pi/4 = pi modulo 2.pi donc l'objection se situe à un autre niveau...

[Pseuda]

Bonsoir,

On trouve en effet 2 solutions dont 1 seule est valable dans un triangle (direct ou indirect).

Donc je rajouterais la contrainte supplémentaire : les 3 angles orientés (écrits plus hauts) sont tous 3 compris entre 0 et pi (triangle indirect) ou tous 3 compris entre -pi et 0 (triangle direct) modulo 2pi.

En effet si on ajoute pi (ou on enlève pi) à chacun des 2 angles, l'équation des angles est toujours vérifiée, mais la configuration des vecteurs n'est plus possible dans un triangle, alors qu'elle l'est pour 3 vecteurs quelconques qui vérifient ces positions (enfin je crois).

[nanneb]

En prenant un triangle équilatéral, mon raisonnement m'amène encore à une absurdité :
(AC;AB)+(CB;CA)+(BA;BC)=pi+2kpi
triangle équilatéral dont (AC;AB)=(CB;CA)=(BA;BC)
d'où 3(AC;AB)=pi+2kpi
et en divisant par 3 les 2 côtés de l'égalité :
(AC;AB)=pi/3 + 2kpi/3

au lieu d'obtenir : (AC;AB)=pi/3 + 2kpi. Et là, je trouve tris fois trop de valeurs...

Je pense que mon erreur vient du fait que la propriété "dans un triangle équilatéral", les angles sont tous égaux s'applique à des angles géométriques et non des angles orientés. Je ne peux donc sans doute pas écrire : (AC;AB)=(CB;CA)=(BA;BC) et poser la valeur 3*(AC;AB).
de la même manière que pour le triangle isocèle de l'exercice do'rigine, je ne peux sans doute pas écrire (AC;AB)=(CB;CA) et poser la valeur 2*(AC;AB).

Je pense que je dois écrire l'égalité des angles géométriques, faire le calcul avec les angles géométriques, puis en déduire la valeur de mon angle orienté à la toute fin.

Mais je ne suis pas sûre de ma conclusion... Qu'en dites-vous ?

[Ben314]

Donc je rajouterais la contrainte supplémentaire : les 3 angles orientés (écrits plus hauts) sont tous 3 compris entre 0 et pi (triangle indirect) ou tous 3 compris entre -pi et 0 (triangle direct) modulo 2pi.

Là ou je me trouve très très con, c'est que je sais pas démontrer le truc évident géométriquement, à savoir que si un des trois angles est entre 0 et pi alors les deux autres aussi (c.f. l'exemple de la fin du post. précédent).
Parce que si on prend comme définition de "direct" que les 3 angles sont entre 0 et pi et comme définition de "indirect" que les 3 angles sont entre -pi et 0, ben ça me semblerais pas con d'arriver à démontrer qu'un triangle est soit direct, soit indirect...

Tu as une idée de comment faire

[Ben314]

Concernant l'égalité des angles orientés, si, tu peut dire qu'ils sont égaux, modulo de "les écrire dans le même sens", c'est à dire écrire que (AB,AC)=(BC,BA) ou bien que (AC,AB)=(BA,BC) et pas que (AB,AC)=(BA,BC).

Sinon, sur tes 3 cas :
(1) (AC;AB) = pi/3 + 2k.pi
(2) (AC;AB) = pi/3 + 2pi/3 + 2k.pi,
(3) (AC;AB) = pi/3 + 4pi/3 + 2k.pi,
Y'a le 2 qui se vire tout seul vu que A, B et C ne sont pas alignés.
Et les deux cas qui te restent, ben c'est une fois de plus un problème d'orientation : si ABC est direct alors (AC;AB) = -pi/3 + 2kpi = pi/3 + 4pi/3 + 2k.pi et s'il est indirect, alors (AC;AB) = +pi/3 + 2kpi.

[nanneb]

En tous les cas, merci à vous deux d'apporter votre point de vue. Je me sens moins seule et aussi rassurée de voir que le problème n'est si évident à résoudre !

[Ben314]

Bon, de toute façon, ce qu'il y a de sûr, c'est que, si on admet qu'un triangle direct a tout ces angles (i.e. les 3) entre 0 et pi et qu'un triangle indirect a tout ces angles sont entre -pi et 0, alors ton problème est résolu.

Reste à comprendre quelle est la preuve "carré-carré" qu'un triangle ne peut pas avoir un de ces angles entre 0 et pi et un autre entre -pi et 0.

[nanneb]

Donc je rajouterais la contrainte supplémentaire : les 3 angles orientés (écrits plus hauts) sont tous 3 compris entre 0 et pi (triangle indirect) ou tous 3 compris entre -pi et 0 (triangle direct) modulo 2pi.

Là ou je me trouve très très con, c'est que je sais pas démontrer le truc évident géométriquement, à savoir que si un des trois angles est entre 0 et pi alors les deux autres aussi (c.f. l'exemple de la fin du post. précédent).
Parce que si on prend comme définition de "direct" que les 3 angles sont entre 0 et pi et comme définition de "indirect" que les 3 angles sont entre -pi et 0, ben ça me semblerais pas con d'arriver à démontrer qu'un triangle est soit direct, soit indirect...

Tu as une idée de comment faire

Perso je ne suis pas inspirée.

[Pseuda]

Tu as une idée de comment faire

Ça ce n'est pas dur.

Pour simplifier posons AB=u, CA=v, BC=w. On montre facilement que, comme (u,-v)+(v,-w)+(w,-u)=pi, si (u, -v) est compris entre 0 et pi (mod 2pi), alors les 2 autres aussi.

[Ben314]

Pour simplifier posons AB=u, CA=v, BC=w. On montre facilement que, comme (u,-v)+(v,-w)+(w,-u)=pi, si (u, -v) est compris entre 0 et pi (mod 2pi), alors les 2 autres aussi.

Je vois pas bien en quoi ça exclue un cas comme celui là :

(BA,BC)=pi/2+2kpi et (AC,AB)=(CB,CA)=5pi/4+2kpi

La somme fait bien pi modulo 2.pi et y'en a un entre 0 et pi et les deux autres entre -pi et 0. . .
Et de façon plus générale, si tu prend deux angles quelconques (donc pas forcément tout les deux dans [-pi,0] ou tout les deux dans [0,pi]), il existera évidement un (unique) 3em angle tel que la somme des 3 fasse pi modulo 2.pi.
Par exemple avec pi/2 et -pi/4, on prend comme 3em angle 3pi/4 : ça fait bien un total de pi, mais c'est pas les trois angles (orientés) d'un triangle...

[nanneb]

Tu as une idée de comment faire

Ça ce n'est pas dur.

Pour simplifier posons AB=u, CA=v, BC=w. On montre facilement que, comme (u,-v)+(v,-w)+(w,-u)=pi, si (u, -v) est compris entre 0 et pi (mod 2pi), alors les 2 autres aussi.

Pourquoi les 2 autres aussi ? J'arrive seulement à déduire que la somme des 2 autres est aussi comprise en 0 et pi, mais pas chacun d'eux.