LES MODULOS 2PI : BIZARRE !

[Pseuda]

Bonjour,

Il faudrait montrer maintenant, qu'en utilisant uniquement des calculs sur des angles orientés, on ne peut pas arriver à prouver que les 3 angles orientés (sus-nommés) d'un triangle sont forcément dans le même sens (ou alors, il faudrait y arriver).

Je reste avec l'idée que les angles géométriques ne sont pas à "jeter à la poubelle" dès que l'on connaît les angles orientés. Par exemple, comment distinguer un angle de -3pi/4 et de 5pi/4 avec les angles orientés ? Comment dire qu'un angle de 270° est "plus grand" qu'un angle de 90° avec les angles orientés ?

[Ben314]

Heuuuu....
Y'a un truc qui m'échappe franchement : quelque soit le point de vue Naif/Collège/Lycée/Fac/Autre, je comprend pas trop comment on peut :
- Trouver une différence entre les angles de mesures -3pi/4 et 5pi/4.
- Définir une relation d'ordre sur les angles.
Tu peut détailler un peu ce que ça représente pour toi ?

C'est éventuellement un problème de génération, mais je suis totalement certain que durant ma scolarité, du collège à la fac, ça a toujours été totalement évident que -3pi/4 et 5pi/4 c'est exactement le même angle et ce, quelque soit le point de vue qu'on peut donner de ce qu'est "un angle".

[Pseuda]

Bonsoir,

J'ai déjà dit plus haut (je me répète) que les angles géométriques distinguent un angle orienté de -3pi/4 (angle saillant) et un angle orienté de 5pi/4 (angle rentrant), alors que les angles orientés, non.

Par ailleurs, je voudrais pouvoir dire qu'un angle de 45°, c'est plus grand qu'un angle de 30°, et on ne peut pas avec les angles orientés. C'est bien une relation d'ordre dans les mesures d'angles géométriques comprises entre 0 et 360° (par exemple, à 45° de la latitude nord, on est plus au nord qu'à 30°).

Ce n'est pas une question de génération, je crois qu'on doit être à peu près de la même. Et je répète ma question :

Il faudrait montrer maintenant, qu'en utilisant uniquement des calculs sur des angles orientés, on ne peut pas arriver à prouver que les 3 angles orientés (sus-nommés) d'un triangle sont forcément dans le même sens (ou alors, il faudrait y arriver).

[Pseuda]

Bonjour,

En fait derrière cette question, il y a la question de notre internaute. Son problème est, qu'avec les angles orientés, il y a 2 solutions possibles à l'équation : : et , dont une seule (la 1ère) est valable dans un triangle.

Comment montre-t-on que seule la 1ère solution est valable ? Un angle de se conçoit dans un triangle. La somme de 2 angles de fait = ; avec le 1er angle de , cela se conçoit aussi. Il faut donc revenir aux angles géométriques pour montrer que cette configuration est impossible dans un triangle.

En fait derrière ma question, il y a quelque chose que je ne comprends et qui me turlupine depuis longtemps. Ma question est : pourquoi les angles orientés, qui apportent une information supplémentaire par rapport aux angles non orientés (l'orientation), entraînent la perte d'autres informations comme celles évoquées plus haut ?

Pourquoi on ne peut pas démontrer avec les angles orientés que si : , alors tous 3 dans ou tous 3 dans ?
A mon sens, c'est parce que, que la démonstration soit directe ou par l'absurde, dès que l'on dit :
si , alors , ou si , et , alors ,
alors c'est fini, on a perdu toute l'information, on ne peut plus rien montrer pour .

[Ben314]

Ben effectivement, ça doit être un problème de génération, mais perso, cette histoire "d'angle saillant" et "d'angle rentrant", ça me dit absolument rien et je comprend franchement pas à quoi ça correspond.

A la limite, dans un problème de mécanique : si on imagine que qu'une demi droite OA se "déplace dans le temps" vers une demi droite OB, alors elle peut faire le trajet en passant "par un coté" ou bien "par un autre", mais ça colle pas du tout avec la vision que j'ai (et que j'ai toujours eu) de ce qu'est un angle en mathématique qui se lit (et existe) sur un dessin fixe et pas sur un truc dynamique (sans parler du fait que, dans un problème de mécanique, pour aller de [OA[ à [OB[, non seulement la demi droite a tournée soit dans un sens, soit dans l'autre, mais en plus elle a éventuellement fait plusieurs fois le tour donc 0° (=immobile), c'est pas pareil que 360°(=un tour) avec ce point de vue dynamique (donc tu peut rien lire du tout sur un dessin "fixe")

Tu les définis comment ces "angles saillant" et "angles rentrant" ?

[Pseuda]

Tu les définis comment ces "angles saillant" et "angles rentrant" ?

Ben c'était dans le lien que j'avais mis : paragraphe 1.1.3. :

http://www.mathox.net/cinquiemes_angles.html

Angle saillant : angle inférieur à 180°, angle rentrant : angle supérieur à 180°. A mon avis, ce n'est pas une question de génération, mais de connaissances des programmes du secondaire.

Sinon, en orientant les angles, on fait 2 choses en même temps :
- on oriente les angles (en orientant le cercle trigonométrique),
- on dit que 2 angles orientés sont égaux si leurs mesures (= mesures des arcs obtenus par enroulement de la droite tangente au cercle au point I d'abscisse 1), sont égales modulo .

Sans les modulos, l'équation n'a qu'une seule solution : . Mais d'un autre côté, même sans les modulos, rien n'empêche d'avoir un triangle (, , ). Il faut donc toujours en revenir aux angles géométriques. Enfin.

[Ben314]

Je suis... de plus en plus perdu....
Pour, moi, les angles non orientés, y'a pas photo, on peut les présenter naïvement de différentes façons (superposition, papier calque, etc...(*) ), certes, mais au final, ce qu'on obtient, c'est le quotient du groupe SO(R^2) des angles orientés via la relation identifiant A et A^{-1} (i.e. un angle et son opposé). Et si "tout se passe mal" avec les angles non orientés, c'est que dans un groupe, d'identifier A et A^-1, c'est en général pas une bonne idée.

Bref, concernant ce point particulier, j'ai toujours pas compris, pour un élève de collège, ce qu'il était sensé "comprendre" des angles. Est-ce :
- Un point de vu mécanique (on "visualise" la rotation qui fait petit à petit tourner la première demi droite dans un sens ou bien dans l'autre, et éventuellement en faisant plusieurs fois le tour pour l'ammener sur la deuxième)
- Un point de vue où les angles c'est effectivement des "couples de demi droite" (donc absolument rien à voir avec ce qu'on appelle "un angle" dans le supérieur) et que quand on écrit AOC=BOD, c'est pas les angles qui sont égaux mais "leur mesure"
- Autre chose, par exemple quelque chose qui ressemblerais effectivement à ce qu'on appelle un angle dans le supérieur et qui ne correspond bien évidement à aucune des deux possibilités sus mentionnées qui correspondrait par exemple parfaitement à du "c'est un truc qu'on trace sur un papier calque et qu'on peut déplacer sur le dessin", bref à un rapporteur (pas forcément gradué)...

Selon toi c'est quoi le point de vue qu'est sensé comprendre un élève de collège ?

(*) Sauf bien évidement en disant que c'est "des couple de demi droites" vu que c'est complètement absurde et que ça défini pas du tout la notion d'angle.

P.S. ET concernant la fin de ton post., je le (rererere)dit : si on parle de mesure d'angles et pas d'angles, y compris du point de vue totalement théorique, ça rend le bidule bien plus compliqué.
Et les difficultés que tu soulève à la fin, à savoir les problème de "relèvement du modulo 2.pi" sont celle qui apparaissent lorsqu'on parle de mesure d'angles : elle n'existent pas si on parle uniquement d'angle : on est dans un groupe et il est totalement évident que, pour a et b fixés, il y a une seule solution à l'équation ax=b, i.e. un unique angle tel que. . .

P.S.2. et concernant l'histoire de "génération", perso., je suis de celle où au Lycée, on distinguait on ne peut plus clairement un angle (de vecteur) noté de l'ensemble de ces mesures qui était noté sauf erreur avec un M majuscule et enfin avec un m minuscule qui était LA mesure principale d'un angle. (et je m'en souvient particulièrement bien du fait que j'avais pas compris grand chose à la construction proposée de la mesure d'un angle et que c'est bien plus tard, plus précisément en licence (de math) que j'ai compris pourquoi c'était forcément "pas bien carré-carré" ce qu'on avait fait au Lycée)

[Pseuda]

Bonjour,

(J'ai supprimé mon message précédent qui était un peu n'importe quoi.)

Pour, moi, les angles non orientés, y'a pas photo, on peut les présenter naïvement de différentes façons (superposition, papier calque, etc...(*) ), certes, mais au final, ce qu'on obtient, c'est le quotient du groupe SO(R^2) des angles orientés via la relation identifiant A et A^{-1} (i.e. un angle et son opposé). Et si "tout se passe mal" avec les angles non orientés, c'est que dans un groupe, d'identifier A et A^-1, c'est en général pas une bonne idée.

Ceci veut dire que pour toi, quotienter Z pour obtenir N, ce ne serait pas une bonne idée parce que N n'est pas un groupe ? Il me semble que les angles géométriques sont une réalité géométrique (la Palisse n'aurait pas dit mieux), et qu'il est plus qu'intéressant d'en tenir compte. La géométrie a d'ailleurs débuté comme cela (les éléments d'Euclide) : que fais-tu de la géométrie euclidienne vue au collège , de la trigonométrie dans le triangle, etc ... ?

Bref, concernant ce point particulier, j'ai toujours pas compris, pour un élève de collège, ce qu'il était sensé "comprendre" des angles. Est-ce :
- Un point de vu mécanique (on "visualise" la rotation qui fait petit à petit tourner la première demi droite dans un sens ou bien dans l'autre, et éventuellement en faisant plusieurs fois le tour pour l'ammener sur la deuxième) --> non, c'est statique, et on ne fait qu'un seul tour au maximum (??? tu as oublié ça ?)
- Un point de vue où les angles c'est effectivement des "couples de demi droite" (donc absolument rien à voir avec ce qu'on appelle "un angle" dans le supérieur) et que quand on écrit AOC=BOD, c'est pas les angles qui sont égaux mais "leur mesure" --> c'est les deux, tout est confondu, un angle, son représentant et sa mesure ; comme pour les vecteurs quand on écrit , on confond un vecteur et son représentant figé dans le marbre, (mais par contre, pas sa mesure).

[Ben314]

Ceci veut dire que pour toi, quotienter Z pour obtenir N, ce ne serait pas une bonne idée parce que N n'est pas un groupe ? Il me semble que les angles géométriques sont une réalité géométrique (la Palisse n'aurait pas dit mieux), et qu'il est plus qu'intéressant d'en tenir compte. La géométrie a d'ailleurs débuté comme cela (les éléments d'Euclide) : que fais-tu de la géométrie euclidienne vue au collège , de la trigonométrie dans le triangle, etc ... ?

Déjà, effectivement, de quotienter Z pour obtenir N, ça me semble totalement absurde : la logique veut que, partant d'un N "connu" (naïf ou axiomatique) on construise ensuite Z et j'imagine plus que difficilement qui que ce soit prétendre que, que ce soit au niveau naïf ou niveau formel ce soit intelligent de partir de Z pour constuire N. Donc je persiste : dans ce sens c'est complètement couillon.
Sinon, remettons les choses "à plat" : ce que j'avais cru comprendre du débat, c'était que la question était "comment démontrer proprement que les 3 angles d'un triangle sont "de même type" (i.e. sans faire appel à du "ça se voit").
Enfin, concernant ta dernière phrase, autant je vois un rapport direct entre la question en rouge et "est-ce que les angles géométriques permettent de montrer proprement les choses", autant je n'en voit absolument aucun avec la question "est ce que les angles géométriques sont une réalité", ou "ont-ils été utile dans la vision grecque de la géométrie".
Et il me semble que ça fait au moins dix fois que je m'échine à essayer de te le faire comprendre que, si l'objectif est de faire quelque chose de "propre" (i.e. qui ne repose pas sur du "on voit sur la figure que...) ben les angles tels qu'on les voit au collège, tu peut effectivement les mettre directement dans une poubelle (et, bis et répéta, cette constatation n'a absolument rien à voir avec la question de savoir si c'est malin ou pas de l'enseigner tel qu'on l'enseigne mais uniquement avec le coté indéniable que le point de vue du collège, c'est "on voit sur le dessin que...")

non, c'est statique, et on ne fait qu'un seul tour au maximum (??? tu as oublié ça ?)

Ah, ça, je peut te garantir que si à un moment quelconque de ma vie, j'avais eu un point de vue sur les angles me permettant de différencier, comme toi ,un angle de -pi/2 avec un angle de 3pi/2, ben je m'en souviendrait. Bref, c'est très clairement pas un problème de mémoire : la vision des angles tels qu'il sont enseignés aujourd'hui n'a visiblement aucun rapport avec ce qu'ils représentaient à mon époque et j'aimerais simplement comprendre le point de vue actuel sur la question. C'est tout.

c'est les deux, tout est confondu, un angle, son représentant et sa mesure ; comme pour les vecteurs quand on écrit , on confond un vecteur et son représentant figé dans le marbre, (mais par contre, pas sa mesure).[/color]

Effectivement, a mon époque c'était indubitablement présenté de façon différente : un vecteur, c'était une classe de bipoints modulo la relation d'équipollence et il ne risquait d'y avoir de confusion vu qu'il y avait deux mots différents "bipoints" et "vecteurs" on prenait un bipoint (A,B) et la classe d'équivalence de ce bipoint était noté et appelée "vecteur AB".
Et si tu veut mon avis (que je partage avec moi même), il faut pas s'étonner qu'avec un tel point de vue il y ait une sacré proportion de bachelier depuis une dizaine d'année (en tout cas de ceux qui finissent sur les banc de la fac. de math) qui ont a peu prés rien capté à la notion de vecteur : si nulle part tu ne fait allusion (implicitement ou pas) à la notion de quotient, je vois pas comment ça peut passer.
Ou alors, c'est comme les angles au collège définis comme des "couples de demi droites" : ça passe à force de faire des exo. en jetant le plus vite possible tout ce qu'on a pu te raconter concernant une prétendue définition du bidule.
Et ça expliquerais en grande partie le fait que les L1, quand on leur dit que le premier truc à connaitre, c'est les définitions, ils te regardent avec des yeux ronds...

[Pseuda]

Tu le fais exprès, ou tu es sérieux ? J'ai du mal à croire qu'on ne puisse pas comprendre les choses comme ça.

Je me demande ce qu'on fait sur un forum lycée quand on pense que la géométrie du collège est " bonne à mettre à la poubelle" dès que l'on connait les outils du supérieur.

Parce que c'est bien de cela dont il s'agit, d'aider un lycéen à démontrer un résultat faux avec les outils du lycée, et donc avec ceux du collège si les outils du lycée ne le permettent pas.

Et pour l'instant, je n'ai pas vu de ta part, l'ombre d'une démonstration avec les outils du collège / lycée, que les angles d'un triangle (sus-nommés) sont soit tous directs soit tous indirects.

Autrement dit, puisque tu ne connais pas les outils et les programmes du collège / lycée, que fais-tu sur le forum lycée ? A mon avis, si tu te cantonnais au forum supérieur, tout le monde s'en porterait beaucoup mieux.

[Ben314]

Parce que c'est bien de cela dont il s'agit, d'aider un lycéen à démontrer un résultat faux avec les outils du lycée, et donc avec ceux du collège si les outils du lycée ne le permettent pas.

Si c'est ça la question (et pas comment ça se démontre proprement) pour tout alors il n'y a pas l'ombre d'une hésitation, avec les outils Lycée et/ou collège, une telle propriété, elle est "évidente sur une figure" et c'est tout et si ça te choque de le dire comme ça, tu dit qu'elle est admise, exactement comme tant d'autre chose et c'est on ne peut plus normal. (*)

Question : Un truc comme sin(pi-x)=sin(x), on dit quoi au Lycée, que c'est "évident au vu du dessin" ou que c'est "admis" ?

Et concernant ta dernière remarque, pour moi elle équivaut à "t'occupe surtout pas de savoir comment les pots ont été cassés et contente toi de faire ce qu'on te demande, tenter de recoller les morceaux". . .

(*) Et d'ailleurs, partant d'une définition aussi stupide que "un angle c'est deux demi droites", j'aimerais bien savoir en quoi ça peut ressembler une "preuve" que par exemple un triangle isocèle possède deux angles égaux ou des propriétés comme celle de l'égalité des angles "alternes internes" enfin bref, comment on démontre les "trucs de base".

[Pseuda]

Bonjour,

Il y a un point qui semble t'échapper complétement, c'est que les enseignants du secondaire ne sont pas responsables de ce qu'ils enseignent, ils suivent un programme (on peut faire quelques dérogations, mais globalement il n'y a pas trop de temps, ils doivent déjà boucler le programme). Et j'imagine que les enseignants du supérieur non plus. Donc ce n'est pas ici sur ce forum qu'il faut porter tes récriminations, mais auprès des personnes qui font les programmes.

Par ailleurs, on voit vraiment que tu ne connais pas le secondaire. Nombre d'élèves au collège à qui on demande de démontrer que 2 droites sont parallèles, et qui répondent : "ah ben ça se voit sur la figure", et qu'on leur dit : "ah non, il faut le démontrer", si on leur disait maintenant "vous avez le droit de dire que c'est vrai parce que ça se voit sur la figure", alors là tu mets toute la géométrie du collège (et celle du lycée) par terre.

Pour répondre à ta question concernant les angles alternes-internes, les collégiens connaissent la symétrie centrale et ses propriétés, donc on pourrait faire une petite démonstration (explication plutôt) avec la symétrie de centre le milieu du segment situé entre les 2 droites parallèles (et encore, on ne démontrerait que le cas de 2 droites parallèles, bref), mais comme on n'a évidemment pas démontré les propriétés de la symétrie centrale, cela ne servirait en gros à pas grand'chose.

En fait à mon sens, c'est un mélange subtil de choses admises (le plus souvent), soit parce qu'elles sont évidentes "ça se voit sur la figure" (c'est-à-dire un genre d'axiomes), soit parce qu'elles seraient difficiles à démontrer et qu'on n'a pas les outils, et de choses démontrées. Mais ils doivent démontrer le reste (ce qu'on leur demande de démontrer dans les exercices).

Donc je vais prendre ma grosse voix, et je vais dire "soyons sérieux".

Pour en revenir au sujet qui nous (me) préoccupe, à savoir la réponse à faire à un lycéen qui se pose ce genre de question, je lui dirais "cette équation donne des solutions (du fait des modulos) qui ne sont pas possibles dans un triangle", et en faisant du cas par cas, certaines sont à écarter (soit du fait d'un angle géométrique supérieur à pi, soit du fait de la somme des 2 angles géométriques supérieurs à pi).

Mais en faisant cette réponse, je ne suis pas sûre de 3 éléments :
- que je pourrais toujours bien faire une réponse ainsi (je penche pour oui, par ma petite démonstration plus haut à laquelle j'adhère),
- que le fait de plusieurs solutions ne proviendrait pas aussi des angles orientés en plus des modulos (je n'ai toujours pas tranché, mais je penche que non),
- qu'on ne peut pas faire une démonstration avec les angles orientés (il semble que non).
Bref, c'est finalement un problème mathématique que je me pose, et c'est de ces 3 questions que je voulais débattre ici.

J'en resterai là sur ce sujet parce que je n'ai pas que ça à faire.