Hauteur d'un ideal

[mona123]

Bonjour pouvez vous s'il vous plait m'aider à demontrer cette equivalence:
soient A un anneau factoriel et p un ideal premier de A
Montrer l'equivalence entre a) et b)
a) p est un ideal principal
b)ht(p) inferieur ou egal à 1
en effet j'ai pu demontrer l'implication b) implique a)
et pour a) implique b)
voici ce que j'ai écrit:
si p=(0) donc ht(p)=0 inferieur ou egal à 1
sinon il exist un element a de p non nul
comme p est un ideal de A alors aA est inclut dans p
mais je n'arrive pas à continuer
pouvez vous m'aider
merci en avance

[zygomatique]

comme on ne sait pas ce qu'est la hauteur d'un idéal ...

et sais-tu sauter des lignes ? ... pour rendre lisible ton exposé ....

[L.A.]

Bonjour,

si p=aA est un idéal premier principal (a irréductible), tu dois prouver que le seul idéal premier p' contenu strictement dans p est p'=0. Mais si x non nul appartient à p' alors x appartient à p donc s'écrit ab, et comme a n'appartient pas à p' on a que b appartient à p' donc b=ac et x = a²c. Et ainsi de suite...

[mona123]

Bonjour,

si p=aA est un idéal premier principal (a irréductible), tu dois prouver que le seul idéal premier p' contenu strictement dans p est p'=0. Mais si x non nul appartient à p' alors x appartient à p donc s'écrit ab, et comme a n'appartient pas à p' on a que b appartient à p' donc b=ac et x = a²c. Et ainsi de suite...

Bonjour L.A,
je ne vois pas ou est l'absurdité.
pouvez vous me guider encore.merci

[Robot]

Bonjour L.A,
je ne vois pas ou est l'absurdité.
pouvez vous me guider encore.merci

Soit un idéal premier, avec . Puisque est factoriel, ça veut dire que est irréductible. Supposons qu'il existe un idéal premier différent de et strictement contenu dans . On a donc , et il existe dans . On écrit avec non divisible par . ...

[mona123]

Soit un idéal premier, avec . Puisque est factoriel, ça veut dire que est irréductible. Supposons qu'il existe un idéal premier différent de et strictement contenu dans . On a donc , et il existe dans . On écrit avec non divisible par . ...

Bonjour Robot pouvez vous terminer la suite de ton raisonnement.car j'ai trop réfléchi et j'ai pas trouver la reponse.
merci

[Robot]

"j'ai trop réfléchi"
On ne réfléchit jamais trop.
Je te laisse réfléchir encore un peu. Tu as tout le week-end.

[mona123]

"j'ai trop réfléchi"
On ne réfléchit jamais trop.
Je te laisse réfléchir encore un peu. Tu as tout le week-end.

Bonjou Robot,
pouvez vous me corriger ma reponse:
supposons il exite un ideal premier Q de A telque Q c P=(p2)
comme A est factoriel il existe p1 premier telsque (p1) cQ montrons que (p1)=(p2)
on a p1 (p2) donc p1=ap2 avec a dans A
comme (p1) est premier alors a est dans (p1) ou p2 est dans (p1)
premier cas:
si a est dans (p1) ,il existe b dans A telsque a=bp1
donc p1=bp1p2 donc p1(1-bp2)=0 donc p1=0 absurde (car p1 est premier) ou p2 est inversible absurde (car p2 est premier)
deuscieme cas:p2;)(p1) donc (p1)=(p2)
ainsi P=Q=(p1)
conclusion ht(p) est egale à 1

[Robot]

[quote="mona123
comme A est factoriel il existe p1 premier telsque (p1) cQ[/QUOTE"]
Pourquoi ?

L.A. et moi-même t'avons donné des indications précises (faire plus serait résoudre complètement l'exercice à ta place). Pourquoi n'en tiens-tu pas compte ?