Nombres complexes

par **TonioTonio** » 14 Aoû 2015, 13:49

Bonjour tout le monde,

D'ici peu j'aurais un examen de mathématiques, et je patoge, énormément !
Je me retourne vers vous, la communauté des maths (et non de l'anneau :mur: trêve de plaisanterie)

Voila mon problème, qui n'est, qu'un, parmi temps d'autre !

z^3 = ( -12 + 5j )^9
-Déterminer la représentation algébrique de toutes les solutions complexes de léquation.

J'ai bien entendue calculer /z/ qui est égale a 13.
Puis j essaye d'obtenir l'angle 'teta' me permettant ensuite de mettre le tout sous forme exponentielle.

Je ne sais pas trop ou cela vas me mener en fin de compte..

Je vous remercie d'avance pour votre temps et votre compréhension, et dans l'attente d'une réponse je vous souhaite a tous une bonne journée.

Cordialement.

par **Robot** » 14 Aoû 2015, 14:01

Ton

est bien ce que les mathématiciens notent

(

) ?
13 est bien le module de

, mais pas le module des solutions de

. Et ton énoncé te demande l'écriture algébrique des solutions, pas l'écriture sous forme exponentielle !

par **TonioTonio** » 14 Aoû 2015, 14:07

Oui oui, mon j est ce que les mathématiciens notent i (i^2=-1).

je dois donc en partant de : z^3 = ( -12 + 5j )^9 , trouver une forme z=a+ib ?

Auriez-vous une indication sur le moyen d'obtenir, la forme z= a+ib ?

par **Robot** » 14 Aoû 2015, 14:13

Trouver les solutions de

en fonction de

, ce n'est pas la mer à boire me semble-t-il ...

par **Pseuda** » 14 Aoû 2015, 14:15

TonioTonio a écrit:Oui oui, mon j est ce que les mathématiciens notent i (i^2=-1).

je dois donc en partant de : z^3 = ( -12 + 5j )^9 , trouver une forme z=a+ib ?

Auriez-vous une indication sur le moyen d'obtenir, la forme z= a+ib ?

Tu dois bien savoir résoudre l'équation z^3 = z0^3, z0 donné ?

par **chan79** » 14 Aoû 2015, 21:03

TonioTonio a écrit:Bonjour tout le monde,

D'ici peu j'aurais un examen de mathématiques, et je patoge, énormément !
Je me retourne vers vous, la communauté des maths (et non de l'anneau :mur: trêve de plaisanterie)

Voila mon problème, qui n'est, qu'un, parmi temps d'autre !

z^3 = ( -12 + 5j )^9
-Déterminer la représentation algébrique de toutes les solutions complexes de léquation.

Tu peux poser

Tu dois savoir résoudre

par **Black Jack** » 15 Aoû 2015, 12:55

Ou bien :

z^3 = (-12 + 5j )^9
z^3 - ((-12 + 5j )³)³ = 0

Se rappeler l'identité remarquable : (a³-b³) = (a-b).(a²+ab+b²) ...

(z - (-12 + 5j )³).(z² + (-12 + 5j )³.z + (-12 + 5j )^6) = 0

z1 = (-12+5j)³ = -828+2035j

Les autres solutions sont issues de z² + (-12 + 5j)³.z + (-12 + 5j )^6 = 0

à traiter comme simple équation du second degré en z ...

:zen:

par **Robot** » 15 Aoû 2015, 13:26

Cette histoire d'équation du second degré, Black Jack, ce n'est sûrement pas le bon moyen !
Il vaut mieux se rappeler quelles sont les racines cubiques de l'unité dans le corps des complexes.

par **Carpate** » 15 Aoû 2015, 15:47

chan79 a écrit:Tu peux poser

Tu dois savoir résoudre

Et pour cette méthode que t'indique Chan79, je te conseille vivement de revenir aux notations classiques :
i et j (

et

)

par **Black Jack** » 16 Aoû 2015, 08:53

Robot a écrit:Cette histoire d'équation du second degré, Black Jack, ce n'est sûrement pas le bon moyen !
Il vaut mieux se rappeler quelles sont les racines cubiques de l'unité dans le corps des complexes.

Il n'y a pas de bon ou de mauvais moyens.
Juste différentes façons d'atteindre le but.

Et bien sûr, certaines façons sont plus rapides si on utilise certaines pré-connaissances ... que certains ont et d'autres pas.

:zen:

par **Black Jack** » 16 Aoû 2015, 09:09

Je poursuis donc ma solution qui n'est soit disant pas "le bon moyen".

z² + (-12 + 5j)³.z + (-12 + 5j )^6 = 0

z² + a.z + a² = 0
avec a = (-12+5j)³ = -828+2035j

z = [-a +/- (a²-4a²)^(1/2)]/2
z = [-a +/- j.V3.a]/2

z = [828-2035j +/- j.V3(-828+2035j)]/2

z = [828-2035j +/- V3(-828j-2035)]/2

z2 = [828-2035j - V3(-828j-2035)]/2 = (828 + 2035.V3)/2 + j(-2035 + 828.V3)/2
z3 = [828-2035j + V3(-828j-2035)]/2 = (828 - 2035.V3)/2 + j(-2035 - 828.V3)/2

Les 3 solutions sont donc :

z1 = -828+2035j
z2 = (828 + 2035.V3)/2 + j(-2035 + 828.V3)/2
z3 = (828 - 2035.V3)/2 + j(-2035 - 828.V3)/2

:zen:

par **chan79** » 16 Aoû 2015, 09:38

Carpate a écrit:Et pour cette méthode que t'indique Chan79, je te conseille vivement de revenir aux notations classiques :
i et j ( et )

En physique, il arrive qu'on choisit la lettre j à la place du i, celle-ci pouvant être utilisée pour l'intensité d'un courant éjectrique.
En reprenant la lettre i:

edit: trop tard

par **Robot** » 16 Aoû 2015, 09:38

Il faut être un peu maso pour se coltiner une équation du second degré pour trouver les solutions en

de

, alors que l'on connaît les racines cubiques de l'unité

, et que les solutions sont simplement

.
Il faut bien s'occuper en vacances. :ptdr:

par **chan79** » 16 Aoû 2015, 11:18

Robot a écrit:Il faut être un peu maso pour se coltiner une équation du second degré pour trouver les solutions en de , alors que l'on connaît les racines cubiques de l'unité , et que les solutions sont simplement .
Il faut bien s'occuper en vacances. :ptdr:

La méthode de Black Jack n'est pas beaucoup plus longue...

par **Robot** » 16 Aoû 2015, 13:03

Cet exercice est visiblement un exercice d'utilisation des racines de l'unité. Et c'est d'ailleurs son seul intérêt.

par **Black Jack** » 16 Aoû 2015, 16:01

Robot a écrit:Cet exercice est visiblement un exercice d'utilisation des racines de l'unité. Et c'est d'ailleurs son seul intérêt.

N'importe quoi.
Chaque méthode à ses mérites, et ceci quoi que puisse en penser Robot qui ici et ailleurs n'admet jamais qu'on puisse penser autrement que lui.

:zen:

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