Famille génératrice

[Khisant]

Bonjour, Bonsoir

J'ai un petit problème avec les familles de vecteurs et malgré une recherche sur Google je n'ai pas trouvé la réponse à ma question.

Voici l'énoncé :
Soit la matrice A= 2 -1 -1
-1 2 -1
-1 -1 2

Déterminer une base de Im(A) et une base de Ker(A).

Alors, oui on a c3=-c1-c2
Donc Im(A) = Vect (c1,c2)
Les deux vecteurs colonnes ne sont pas colinéaires donc la famille c1,c2 est libre.

Mais comment justifie-t-on le fait que cette famille soit génératrice ?

Est-ce qu'il suffit de dire que dim Im(a) = 2 et c1,c2 libre donc c1,c2 est une famille génératrice et une base de Im(A) ?

Merci pour vos réponses :)

[ArtyB]

Oui il suffit de dire cela il me semble,
car une famille est une base de R^n si c'est une famille libre de R^n et generatrice de R^n.
Ici une base Ker(A) est le vecteur (1,1,1) et une base de Im(A) est (c1,c2) par exemple (comme tu l'as dit).

[Khisant]

De façon générale lorsque l'on me demande de montrer une base d'un sev ou de Im ou de Ker j'ai juste à montrer que :
1)La famille proposée est libre ou qu'une sous famille est libre
2) Puis je dis que la dimension de cette famille/sous famille correspond à la dimension de Im ?

Mais la dim de Im correspond à celle de sa base donc si elle ne nous est pas donné au départ on est coincé et c'est le serpent qui se mord la queue non ? (la famille est une base car elle a la meme dimension que Im qui a la dimension de la base que je viens de trouver).

:mur:

[Ben314]

Salut,
Lorsque tu as une matrice A de taille , les vecteurs colonne de la matrice sont (quasi) par définition les images des vecteurs colonnes (0,...,0,1,0,...,0) donc l'image d'un vecteur colonne (x1,x2,...,xm) quelconque est le vecteur x1.c1+x2.c2+...+xm.cm.
Cela signifie bien évidement que la famille (c1,c2,...,cm) est systématiquement une famille génératrice de Im(A).
C'est presque tout le temps en partant de cette famille et en enlevant éventuellement des vecteurs (si elle n'est pas libre) que tu trouve une base de Im(A).

[Khisant]

Salut,
Lorsque tu as une matrice A de taille , les vecteurs colonne de la matrice sont (quasi) par définition les images des vecteurs colonnes (0,...,0,1,0,...,0) donc l'image d'un vecteur colonne (x1,x2,...,xm) quelconque est le vecteur x1.c1+x2.c2+...+xm.cm.
Cela signifie bien évidement que la famille (c1,c2,...,cm) est systématiquement une famille génératrice de Im(A).
C'est presque tout le temps en partant de cette famille et en enlevant éventuellement des vecteurs (si elle n'est pas libre) que tu trouve une base de Im(A).

Donc je n'ai pas besoin de justifier que c'est une famille génératrice ? il me suffit de dire que :
1) la famille U de A est libre (avec démonstration)
2) par définition la famille de vecteur U de A est génératrice
3) donc c'est une base de R, im, ker...

C'est ça ?

[Ben314]

Heuuuu.
C'est sensé vouloir dire quoi "la famille U de A" ?
A, c'est pas une matrice ?

Et c'est quoi qui est une "base de R, im, ker..." ? -> R, c'est quoi ? ker de qui ? im de qui ?

Et concernant le fait que tu doive ou pas justifier que la famille formée des vecteurs colonnes de la matrice A forment une bas de l'image de A, ben ça dépend si c'est un résultat du cours que tu as ou pas.
Si c'est un résultat de ton cours, il te suffit d'écrire "On sait que..." et sinon, ben faut que tu le prouve.

[Khisant]

La famille U de A c'est par exemple le premier et le deuxième vecteurs colonne d'une matrice A de degré 3 par exemple.

C'est la famille qui est une base de R^n, im de A, ker de A.

Mais justement comment je prouve que une famille U de vecteurs colonne d'une matrice A est génératrice ?
Par exemple : A =2 -1 -1
-1 2 -1
-1 -1 2
On cherche la base de Im(A) par exemple
On voit que le troisième vecteur colonne est une combinaison linéaire des deux autres.
Les deux premiers vecteurs colonne sont libres car non colinéaires.

Pour dire que ces deux vecteurs colonnes sont une base de Im(A) je dois dire qu'ils forment une famille génératrice. Dois-je le prouver ? Si oui, comment le prouver ?


J'espère que c'est plus clair de cette façon :)

[Khisant]

Je ne suis toujours pas assez clair ? :hey: :peur:

[mathelot]

si est un endomorphisme
l'image d'une base de E est une famille génératrice de f(E).

[Khisant]

Bonjour mathelot,

En éco-gestion nous n'avons pas vu les endomorphismes.

[mathelot]

endomorphisme=application linéaire

[zygomatique]

si est un endomorphisme
l'image d'une base de E est une famille génératrice de f(E).

salut

certes oui .... mais que signifie "endo" ?

:lol3:

[Khisant]

bon je pense tout simplement qu'il n'est pas utile que je justifie puisque la proposition que tu me donne mathelot est hors programme pour nous. Du moins je n'ai jamais vu ça.

Merci à tous pour vos réponses :)

EDIT : Si je dois mettre "Résolu" ou qqch du genre pour signifier que l'on a répondu à ma question, merci de me le dire.

[Khisant]

La solution :

Pour montrer qu'une famille est libre et génératrice il faut que la matrice représentative de cette famille ait c pivots avec c=n=p, où n = nb de ligne de la matrice et p=nombre de colonne de la matrice