Bonjour !
Dans un DM de maths j'ai une énigme, et je ne sais pas comment m'y prendre pour la résoudre !
"Soient x et y deux entiers naturels. On sait que lécriture décimale du nombre x²+y²+xy se termine par un zéro. Montrer qu'en fait elle se termine par deux zéros."
Merci !
Enigme
14 messages
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par zygomatique » 29 Avr 2015, 14:00
salut
écris que x = 10p + a et y = 10q + b et calcule x² + xy + y² ....
a et b sont donc des chiffres ...
écris que x = 10p + a et y = 10q + b et calcule x² + xy + y² ....
a et b sont donc des chiffres ...
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE
par ScottJohnson » 29 Avr 2015, 14:20
=10(10p²+2pa+10pq+pb+qa+10q²+2qb)+a²+ab+b²
Je ne voit pas en quoi cela peut me renseigner sur la nature de a et b :/
Je ne voit pas en quoi cela peut me renseigner sur la nature de a et b :/
par Sylviel » 29 Avr 2015, 16:12
=10(10p²+2pa+10pq+pb+qa+10q²+2qb)+a²+ab+b²
qui dans cette expression peut te donner le dernier chiffre du total ? (je n'ai pas vérifié le développement)
qui dans cette expression peut te donner le dernier chiffre du total ? (je n'ai pas vérifié le développement)
Merci de répondre aux questions posées, ce sont des indications pour vous aider à résoudre vos exercices.
par zygomatique » 29 Avr 2015, 17:45
ScottJohnson a écrit:=10(10p²+2pa+10pq+pb+qa+10q²+2qb)+a²+ab+b²
Je ne voit pas en quoi cela peut me renseigner sur la nature de a et b :/
sauf qu'on est passé de deux nombres à deux chiffres !!!!
ça fait pas des masses de possibilités ....
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE
par ScottJohnson » 29 Avr 2015, 20:13
Le 10 du début, mais il reste la fin, on ne sais pas ce que ça donne !
par Sylviel » 29 Avr 2015, 23:39
Ben tu as a² + ab + b² seulement qui peuvent participer, a et b étant des chiffres, donc maximum 100 possibilités.
commence par le cas a = b.
commence par le cas a = b.
Merci de répondre aux questions posées, ce sont des indications pour vous aider à résoudre vos exercices.
par nodjim » 30 Avr 2015, 07:36
Perso, j'étudierais séparément le zéro modulo 2 et le zéro modulo 5.
par zygomatique » 30 Avr 2015, 17:45
0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 ...
y a pas beaucoup de carrés ....
y a pas beaucoup de carrés ....
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE
par Ben314 » 30 Avr 2015, 20:43
Salut,
Je ne sais pas si tu as vu les congruences, mais si oui, il y a une méthode un peu plus subtile que de faire 100 essais :
Si x²+xy+y²=0 [10] alors, à fortiori, 4x²+4xy+4y²=0 [5] donc (2x+y)²=4x²+4xy+y²=-3y²=2y² [5]
Si y était non nul modulo 5, il admettrais un inverse z modulo 5 et, en multipliant la dernière congruence par z², on aurait (2xz+1)²=2 [5] sauf que 2 n'est pas un carré modulo 5 [1²=(-1)²=1 et 2²=(-2)²=4] donc c'est impossible et cela prouve que y=0 [5].
Pour des raisons de symétries (de l'équation) on a aussi x=0 [5]
Bilan : x et y sont tout les deux multiples de 5.
Ensuite, modulo 2, si on avait y=1 alors on aurait x²+x+1=0 ce qui est impossible vu que x²+x=x(x-1)=0 donc y=0 et, par symétrie, x=0.
Bilan : x et y sont tout les deux multiples de 2.
Je ne sais pas si tu as vu les congruences, mais si oui, il y a une méthode un peu plus subtile que de faire 100 essais :
Si x²+xy+y²=0 [10] alors, à fortiori, 4x²+4xy+4y²=0 [5] donc (2x+y)²=4x²+4xy+y²=-3y²=2y² [5]
Si y était non nul modulo 5, il admettrais un inverse z modulo 5 et, en multipliant la dernière congruence par z², on aurait (2xz+1)²=2 [5] sauf que 2 n'est pas un carré modulo 5 [1²=(-1)²=1 et 2²=(-2)²=4] donc c'est impossible et cela prouve que y=0 [5].
Pour des raisons de symétries (de l'équation) on a aussi x=0 [5]
Bilan : x et y sont tout les deux multiples de 5.
Ensuite, modulo 2, si on avait y=1 alors on aurait x²+x+1=0 ce qui est impossible vu que x²+x=x(x-1)=0 donc y=0 et, par symétrie, x=0.
Bilan : x et y sont tout les deux multiples de 2.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par Ben314 » 30 Avr 2015, 20:49
Salut,
Je ne sais pas si tu as vu les congruences, mais si oui, il y a une méthode un peu plus subtile que de faire 100 essais :
Si x²+xy+y²=0 [10] alors, à fortiori, 4x²+4xy+4y²=0 [5] donc (2x+y)²=4x²+4xy+y²=-3y²=2y² [5]
Si y était non nul modulo 5, il admettrais un inverse z modulo 5 et, en multipliant la dernière congruence par z², on aurait (2xz+1)²=2 [5] sauf que 2 n'est pas un carré modulo 5 [1²=(-1)²=1 et 2²=(-2)²=4] donc c'est impossible et cela prouve que y=0 [5].
Pour des raisons de symétries (de l'équation) on a aussi x=0 [5]
Bilan : x et y sont tout les deux multiples de 5.
Ensuite, modulo 2, si on avait y=1 alors on aurait x²+x+1=0 ce qui est impossible vu que x²+x=x(x-1)=0 donc y=0 et, par symétrie, x=0.
Bilan : x et y sont tout les deux multiples de 2.
Je ne sais pas si tu as vu les congruences, mais si oui, il y a une méthode un peu plus subtile que de faire 100 essais :
Si x²+xy+y²=0 [10] alors, à fortiori, 4x²+4xy+4y²=0 [5] donc (2x+y)²=4x²+4xy+y²=-3y²=2y² [5]
Si y était non nul modulo 5, il admettrais un inverse z modulo 5 et, en multipliant la dernière congruence par z², on aurait (2xz+1)²=2 [5] sauf que 2 n'est pas un carré modulo 5 [1²=(-1)²=1 et 2²=(-2)²=4] donc c'est impossible et cela prouve que y=0 [5].
Pour des raisons de symétries (de l'équation) on a aussi x=0 [5]
Bilan : x et y sont tout les deux multiples de 5.
Ensuite, modulo 2, si on avait y=1 alors on aurait x²+x+1=0 ce qui est impossible vu que x²+x=x(x-1)=0 donc y=0 et, par symétrie, x=0.
Bilan : x et y sont tout les deux multiples de 2.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par zygomatique » 30 Avr 2015, 23:50
à ce moment là avec les congruences je préfère multiplier par 2
x² + xy + y² = 0 [10] => x² + (x + y)² + y² = 0 [5]
et comme les seuls carrés modulo 5 (autre que 0) sont 1 et -1 on en déduit que x = y = 0 [5] est la seule solution ....
d'autre part x² + xy + y² = (x + y)² - xy est multiple de 10 donc de 2 donc x + y et xy ont même parité donc x et y sont pairs ...
x² + xy + y² = 0 [10] => x² + (x + y)² + y² = 0 [5]
et comme les seuls carrés modulo 5 (autre que 0) sont 1 et -1 on en déduit que x = y = 0 [5] est la seule solution ....
d'autre part x² + xy + y² = (x + y)² - xy est multiple de 10 donc de 2 donc x + y et xy ont même parité donc x et y sont pairs ...
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE
par Ben314 » 01 Mai 2015, 08:39
Certes MAIS (forcément il y a un mais...)
a) Sur le principe (i.e. en imaginant qu'on a un premier quelconque à la place de 5), il faut bien plus de "tests" pour trouver les solutions de x²+y²+z²=0 [p] que pour x²=Cst [p].
b) Une fois les "tests" effectués, tu as encore des vérifications à faire vu que, par exemple x²+y²+z²=0 [5] admet des solutions non triviales (i.e. différentes de (0,0,0)) et que pour avoir comme unique solution la triviale il faut en plus rajouter l'hypothèse z=x+y.
c) la "réécriture" de x²+xy+y² sous la forme (x+y/2)²+3y²/4 devrais mécaniquement venir à l'esprit de tout matheux vu que c'est la forme canonique du trinôme vu comme polynôme en x (et/ou, pour ceux qui l'on vu, une réduction de Gauss de forme quadratique f(x,y)=x²+xy+y²)
Et si c'est le coté "tiré d'un chapeau" de la multiplication par 4 qui te gène, tu peut te dire qu'il ne sert à rien vu que 2 est inversible modulo 5 donc on peut parfaitement écrire (x+y/2)²+3y²/4=0 [5] en gardant les divisions par 2 et par 4.
Bilan : ce que je propose s'applique "tout pareil" pour la résolution de ax²+bxy+cy²=0 [p] (p différent de 2) où il faut, comme par hasard, regarder si Delta=b²-4ac est ou pas un carré modulo p pour savoir s'il y a des solutions non triviales.
Alors que je n'ai pas l'impression que ta méthode soit bien générale.
a) Sur le principe (i.e. en imaginant qu'on a un premier quelconque à la place de 5), il faut bien plus de "tests" pour trouver les solutions de x²+y²+z²=0 [p] que pour x²=Cst [p].
b) Une fois les "tests" effectués, tu as encore des vérifications à faire vu que, par exemple x²+y²+z²=0 [5] admet des solutions non triviales (i.e. différentes de (0,0,0)) et que pour avoir comme unique solution la triviale il faut en plus rajouter l'hypothèse z=x+y.
c) la "réécriture" de x²+xy+y² sous la forme (x+y/2)²+3y²/4 devrais mécaniquement venir à l'esprit de tout matheux vu que c'est la forme canonique du trinôme vu comme polynôme en x (et/ou, pour ceux qui l'on vu, une réduction de Gauss de forme quadratique f(x,y)=x²+xy+y²)
Et si c'est le coté "tiré d'un chapeau" de la multiplication par 4 qui te gène, tu peut te dire qu'il ne sert à rien vu que 2 est inversible modulo 5 donc on peut parfaitement écrire (x+y/2)²+3y²/4=0 [5] en gardant les divisions par 2 et par 4.
Bilan : ce que je propose s'applique "tout pareil" pour la résolution de ax²+bxy+cy²=0 [p] (p différent de 2) où il faut, comme par hasard, regarder si Delta=b²-4ac est ou pas un carré modulo p pour savoir s'il y a des solutions non triviales.
Alors que je n'ai pas l'impression que ta méthode soit bien générale.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par zygomatique » 01 Mai 2015, 12:13
oui bien sur ...
je ne travaillais que dans ce cas particulier ....
je ne travaillais que dans ce cas particulier ....
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE
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