Enigme des caméléons

par **Xouuox** » 31 Oct 2006, 22:29

Bonjour,

Je dois faire un devoir maison pendant les vacances mais là je suis bloqué au point mort, je tiens a préciser au cas ou mon prof de maths passerait par là, que je poste ici sans penser à une quelconque tricherie. Je pense qu'on peut se faire aider pour un DM. (J'espère que c'est le cas :p)

Voici :

Il y a 42 caméléons bleus, 17 rouges, 31 verts. A chaque recontre si les deux caméléons sont identiques, ils gardent leurs couleurs, sinon ils prennent la troisième (un rouge et un vert se rencontrent --> paf ils deviennent bleus) Est-ce possible que les camélons deviennent tous de la même couleurs ?

Il y a une indication : "on peut poser b0 = 42; ro=13; v0=31, on designe alors par bn, rn, et vn le nombrede caméléons de chaque couleur après la n-ième rencontre. Considerer alors la suite Un = bn-rn. on cherche les valeurss de Un modulo 3.

voilà mon soucis, les rencontrent se font aléatoirement comment est-ce possible de determiner les suites ? J'y ai réfléchi mais la je ne comprends pas. Il semple que Rn+Bn+Vn = une constante non ? (42+13+31 = 86 non ?)

Merci de votre aide je suis perdu...

(nous sommes sur le chapitre des congruences)

par **Imod** » 31 Oct 2006, 23:33

Au départ U0 est impair , regarde pour chaque type de rencontre possible si la parité de Un peut changer , si elle devait rester impaire , il ne serait pas possible que tous les caméléons soient de la même couleur .

Imod

par **BancH** » 01 Nov 2006, 00:17

Bonsoir.

Xouuox a écrit:Il y a 42 caméléons bleus, 17 rouges, 31 verts.

b0 = 42; ro=13; v0=31

42+13+31 = 86 non ?

C'est 17 ou 13 ?

par **Imod** » 01 Nov 2006, 00:33

Pour BancH , est-ce que c'est important ?

Imod

par **BancH** » 01 Nov 2006, 00:51

Je sais pas trop mais avant de réfléchir je préfère avoir les bonnes données au cas au ça aurait de l' importance.

par **Imod** » 01 Nov 2006, 01:06

En fait , cela n'a aucune importance mais ne dévoile pas la solution quand tu l'auras ( sûrement bientôt ) , laisse le plaisir de la découverte :we:

Imod

par **BancH** » 01 Nov 2006, 01:08

En fait là je cherche pas spécialement la solution mais un moyen de mathématiser le problème sans l'histoire des couleurs des caméléons.

par **Imod** » 01 Nov 2006, 01:14

Alors regarde l'approche que j'ai donné , tu en tireras sûrement quelques idées .

Imod

par **BancH** » 01 Nov 2006, 01:29

A chaque fois j'oublie que le nombre de caméléons est constant, je crois que lors d'une rencontre il en ressort un seul - -

Dans ce cas ça a l'air simple avec le module 3.

Si l'âge des caméléons dépend de leur couleur, et que les bleus ont un an, les rouges deux ans, et les verts trois, alors la somme des âges des caméléons avant leur rencontre et après sont congrus au même nombre modulo 3.

Si on veut qu'ils aient tous un deux ou trois ans, dans les trois cas on a la somme des âges totale multiple de trois:

Il suffit de voir si parmis ces six nombres: (qui correspondent aux différentes combinaisons des âges)

Un au moins est divisible par trois, s'il n'y en a pas c'est que ce n'est pas possible que tous les caméléons aient la même couleur.

par **Imod** » 01 Nov 2006, 10:03

Bon , reprenons à tête reposée .

. En remarquant que B+R->V+V , B+V->R+R et R+V->B+B ,

avec

donc

. Si à la nième étape les caméléons étaient tous de la même couleur

, impossible .

Imod

par **BancH** » 01 Nov 2006, 10:30

Attends, pourquoi si tous les caméléons sont de la même couleur

?

par **Imod** » 01 Nov 2006, 10:50

Il y a en tout 90 caméléons . au rang n s'ils sont tous :
rouges : un= -90
bleus : un = 90
verts : un = 0

Dans tous les cas

ce qui est impossible .

Imod

par **BancH** » 01 Nov 2006, 10:52

Oui 90, mais essaie avec 13 caméléons rouges, ça n'a pas d'importance il parraît ;)

par **Imod** » 01 Nov 2006, 11:01

J'étais fatigué hier soir , si tu relis mes autres messages tu verras que ce n'est pas la pire des âneries que j'ai sorties .

Imod

par **BancH** » 01 Nov 2006, 11:02

Comme tu as dit il suffit juste de faire

avec

prenant les trois valeurs

,

et

, or

Donc c'est bien impossible.

par **Xouuox** » 02 Nov 2006, 21:41

j'ai pas compirs l'histoire du congru à zero pourquoi c'est impossible si c'est congru à 0 modulé 3 ?

par **Imod** » 02 Nov 2006, 21:58

Il faut remarquer que

et que , quelles que soient les rencontres

. Or si tous les caméléons étaient de la même couleur

( il suffit de faire le calcul pour les trois cas possibles ) . Il y a donc une contradiction .

Imod

par **Xouuox** » 02 Nov 2006, 22:16

mais si tous les caméléons sont de la même couleur tu as marqué

Rn = 90
Vn= -90
Bn=0
mais c'est possible que ce soit

Rn=90
Bn=-45
Vn=-45

enfin il y a plein de combinaison possibles, pas une inifinité car on est dans les entiers mais ça en fait pas mal quand même ...

par **Imod** » 03 Nov 2006, 00:02

Xouuox a écrit:mais si tous les caméléons sont de la même couleur tu as marqué
Rn = 90
Vn= -90
Bn=0

Non , j'ai marqué :
Un = 90
Un= -90
Un=0

Si les caméléons sont tous de la même couleur , il y a trois possibilités :

B=90 , V=0 et R=0 : Un = 90 .
B=0 , V=0 et R=90 : Un =-90 .
B=0 , V=90 et R=0 : Un = 0 .

Imod

par **Xouuox** » 04 Nov 2006, 04:12

Pourquoi Un est toujours congru à 1 modulo 3 ?

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