Enigme des caméléons

[BancH]

Si et , alors:

et

et

et

[Xouuox]

Bonjour, a tous,

pardon d'insister mais je ne comprends toujours pas pourquoi on a Un congru à 1 modulo trois dans tous les cas
avec des expériences aléatoires genre un rouge rencontre un vert je trouve bien ceci mais comment le prouver

Je n'ai pas compris avec les k {-1 0 1 }

merci de votre aide

[BancH]

Si on associe trois nombres consécutifs aux couleurs des caméléons, après rencontres, la somme des nombres correspondants aux couleurs des caméléons sera congrue au même nombre modulo que la somme des nombres des couleurs des caméléons au départ.

Tu le montres ainsi:

Si à un caméléon rouge on fait correpondre le nombre , au vert le nombre et au bleu le nombre avec divise alors:






Avant la rencontre:

vert + rouge

après la rencontre:

vert + rouge bleu + bleu

Et tu fais les deux autres cas.

Donc après rencontres, la somme des nombres associés aux caméléons sera congrue à:



Or pour qu'ils soient tous de la même couleur, cette somme devrait être congrue à:




Sinon je ne vois pas d'autre moyen pour répondre à l'exercice.

[Imod]

Une façon un peu moins formelle de présenter les choses , au départ . Etudions toutes les rencontres possibles et observons l'évolution de u . On note par exemple B+R la rencontre d'un bleu et d'un rouge .
B+B , R+R , V+V ne change pas la couleur des caméléons donc u reste inchangé .
B+R colorie les deux caméléons en vert , bilan : il y a un bleu et un rouge en moins et deux verts en plus donc u ne change pas .
B+V colorie les deux caméléons en rouge , bilan : il y a un bleu et un vert en moins et deux rouges en plus donc u diminue de trois .
V+R colorie les deux caméléons en bleu , bilan : il y a un vert et un rouge en moins et deux bleus en plus donc u augmente de trois .

Chacune des rencontres laisse donc invariant u[mod 3] .

Imod

[crassus]

bonsoir ,

effectivement on a b(n+1) -r(n+1) vaut b(n)-r(n) ou b(n)-r(n)-3 ou b(n)-r(n)+3 finalement pour tout n b(n+1)-r(n+1) et b(n)-r(n) sont congrus modulo 3 et b(0) -r(0)n'est pas congru à 0 modulo 3 or pour qu'il puisse n'y avoir que des verts à la fin il est necessaire de se retrouver avec des nombres de rouges et de bleus identiques ce qui ne peut arriver qu'avec une congruence à 0 modulo 3 (un rouge rencontre un vert pour donner 2 rouges )

en faisant tourner le raisonnement ...

v(0)-r(0) = 14 non congrus à 0 modulo 3

b(0)-v(o) =11 non congrus à 0 modulo 3 ...

[crassus]

pour bien comprendre les valeurs de b(n+1)-r(n+1) tu peux exprimer b(n+1) et r(n+1) dans les differentes eventualites ...tu trouves trois cas ...

b(n+1) =b(n)-1 ; r(n+1) =r(n)-1 et v(n+1) =v(n)+2 (si on choisit un bleu et un rouge )etc ...
( voir 2 autres eventualites )