Paradoxe de parrondo

[Lanar]

Bonsoir,
D'abord, je vous prie de m'excuser pour mon absence de réponse au dernier sujet posé. Je n'arrivais tout simplement plus à me connecter au site, puis mon mot de passe s'est perdu dans les tréfonds de ma mémoire. donc merci pour vos précédentes réponses.
Je viens encore vous embêtez.Il s'agit du jeu de Parrondo, avec 2 pièces de monnaie A et B. La probabilité d'avoir pile avec la pièce A est (1+a)/2 et avec la B (1+b)/2, avec a entre -1 exclus et 1 exclus et b entre -1 exclus et 1 exclus.
Bon, si c'est pile, on gagne un euro, sinon on en perd un. SI on a une cagnotte multiple de 3, on utilise la pièce A,sinon la B
Dans un premier temps, on me demande de calculer p(wn) et p(ln), avec a=b=e>0 et wn=avoir pile au n+1 lancer et Ln=avoir face au n+1 lancer
J'ai d'abord dit que, dans les deux cas, a étant égal à b, on se fiche du choix de la pièce.
wn=obtenir un unique pile à la (n+1)e position+obtenir 2 piles dont un à la dernière position+...+ obtenir que des piles.
Donc wn=((1+e)/2)x((1-e)/2)^n+(1-e/2)^(n-2)x(1+e/2)^2+...+(1+e/2)^(n+1)
Pour Ln, on a p(Ln)=1-p(Wn)
on me demande de prouver que le jeu est favorable cad que lim de p(wn) quand n tend vers + infini>à celle de p(Ln)
J'ai dit que dans les 2 cas, on tend vers 0, mais que p(Ln) tend plus vite vers 0 que p(wn). ça marche?
Puis on me demande de dire si le résultat me surprend. j'en ai aucune idée.
Après, je bloque pour le cas général, car je vois comment ça fonctionne, mais sans voir comment généraliser quand on me demande d'exprimer p(zn+1),p(dn+1) et p(un+1) en fonction de a et de b, avec :
zn= après le lancer n, la cagnotte est de la forme 3k avec k appartenant à Z
Un=_______________________________________3k+1_________________
Dn=_______________________________________3k+2_________________
j'ai fait une sorte d'arbre des résultats au n+1e lancer possibles en partant de 3k, 3k+1 et de 3k+2,mais après ça bloque. Une petite mise sur la voie?

[Lanar]

pitié! je vois juste pas comment faire.

[Ben314]

Salut,
bon, ben c'est pas gagné....

Déjà, je comprend pas ce que tu fout comme calcul monstrueux pour savoir quelle est la proba d'avoir P ou F au n+1 ième tirage : si c'est bien ça la question qu'on te pose, alors la réponse est complètement évidente vu que, comme tu l'a dit, les deux pièces sont identique avec toutes les deux une proba de (1+e)/2 d'avoir pile.
Donc au n+1 ième tirage (comme à absolument tout les tirages dans le cas a=b=e) il y a une proba de (1+e)/2 d'avoir pile et une probe de (1-e)/2 d'avoir face.

Ensuite, d'écrire comme tu le fait que "p(Ln)=1-p(Wn)" puis, deux lignes en dessous écrire que p(Ln) et p(wn) tendent tout les deux vers 0, le moins qu'on puisse dire, c'est que ça la fout mal....
Concernant le fait que, dans ce cas là (i.e. a=b), le jeu est "favorable", ben il me semble qu'il y a pas grand chose à dire tellement c'est évident.

Enfin, concernant la "généralisation", par exemple pour calculer p(U(n+1)), il suffit de dire que, pour qu'à l'étape n+1 la cagnotte soit de a forme 3k+1, il faut (et il suffit) que
- Soit le coup d'avant elle était de la forme 3k et on a fait pile (donc +1)
- Soit le coup d'avant elle était de la forme 3k+2 et on a fait face (donc -1)
Les deux situation étant clairement disjointe, on fait la somme des deux proba. :
p(U(n+1)) = (a+1)/2 p(Zn) + (b+1)/2 p(Dn)

[Lanar]

On t'a appris à être aimable? nan ,juste pour savoir, hein....