Equation différentielle

[Snurgzlol]

Bonjour à tous,

je dois déterminer la solution de l'équation différentielle :x^2*y'(x)-y(x)=1 avec x>0 et y(1)=3.
Je sais que y(x) =Ke^(ax)-b/a
Je connais a et b car y'(x) =ay+b =>> y'(x)=y(x)/x^2+1/x^2 et donc a =1/x^2 et b=1/x^2.

J'en déduis que y(x) = Ke^1/x-1
et si j'applique y(1)=3 je trouve que K= 4/e

et donc ma solution finale est : y(x) 4e^((1-x)/x)-1

alors que la réponse de mon prof est :y(x)=4e^(1-(1/x))-1

Si quelqu'un pouvait m'expliquer ce que j'ai fait de faux ! merci :ptdr:

[Pythales]

Bonjour à tous,

je dois déterminer la solution de l'équation différentielle ^2*y'(x)-y(x)=1 avec x>0 et y(1)=3.
Je sais que y(x) =Ke^(ax)-b/a
Je connais a et b car y'(x) =ay+b =>> y'(x)=y(x)/x^2+1/x^2 et donc a =1/x^2 et b=1/x^2.

J'en déduis que y(x) = Ke^1/x-1
et si j'applique y(1)=3 je trouve que K= 4/e

et donc ma solution finale est : y(x) 4e^((1-x)/x)-1

alors que la réponse de mon prof est :y(x)=4e^(1-(1/x))-1

Si quelqu'un pouvait m'expliquer ce que j'ai fait de faux ! merci :ptdr:

[siger]

bonjour

x^2y'(x)-y(x) = 0
y'/y= 1/(x^2)
ln(y) = -1/x
y = k* e^(-1/x). et non e^(1/x)
........

[Snurgzlol]

Siger merci de ta réponse, mais je comprends pourquoi tu fais ln(y). Pour cette équation là on peut pas s'en sortir avec la formule toute faite : y(x) = Ke^(ax)-b/a???

[Pythales]

Siger merci de ta réponse, mais je comprends pourquoi tu fais ln(y). Pour cette équation là on peut pas s'en sortir avec la formule toute faite : y(x) = Ke^(ax)-b/a???

Pas de quoi ...

[capitaine nuggets]

Bonjour à tous,

je dois déterminer la solution de l'équation différentielle ^2*y'(x)-y(x)=1 avec x>0 et y(1)=3.

Salut !

Puisque , en particulier, donc on peut transformer cette équation sous la forme suivante :

[CENTER]
[/CENTER]

- On peut commencer par résoudre l'équation homogène associée :

[CENTER]
[/CENTER]

L'ensemble des solutions sont les fonctions .

- Ensuite, on cherche une solution particulière de .
Remarque que la constante égale à sur , que je noterai , est solution particulière.

- En conséquence, d'après le principe de superposition, l'ensemble des solutions de (E) est :

[CENTER][/CENTER]

bonjour

x^2y'(x)-y(x) = 0
y'/y= 1/(x^2)
ln(y) = -1/x
y = k* e^(-1/x). et non e^(1/x)
........

Siger merci de ta réponse, mais je comprends pourquoi tu fais ln(y). Pour cette équation là on peut pas s'en sortir avec la formule toute faite : y(x) = Ke^(ax)-b/a???

Non, car les coefficients de ton équation différentielle ne sont pas tous constants.

Une petite explication du passage que tu n'as pas compris :

En supposant que ne s'annule pas, on a :

[CENTER][/CENTER]

Or si on prend la primitive, que je noterai abusivement , on a :

[CENTER][/CENTER]

Or on n'a pas fait ça par hasard, on sait que pour une fonction , donc et ainsi :

[CENTER][/CENTER]

Par passage à l'exponentielle :

[CENTER][/CENTER]

en posant . Enfin, comme , on en déduit que :



:+++:

[arnaud32]

[zygomatique]

Siger merci de ta réponse, mais je comprends pourquoi tu fais ln(y). Pour cette équation là on peut pas s'en sortir avec la formule toute faite : y(x) = Ke^(ax)-b/a???

salut

pour appliquer une formule toute faite il faut être dans les conditions pour !!!