Sous espace vectoriel

[Berno]

Bonjour s'il vous plait j'ai besoin d'aide concernant l'exo 2 du sujet joint.

http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00088.pdf

Premièrement pour le terme employé « produit usuelles »
Lorsqu'on dit que « On munit R^n des lois produit usuelles »
Il s’agit tout simplement du produit cartésien et non de ma multiplication entre les éléments de R ?

Partie correction

Dans la 1ere démarche il est dit que « F contient le vecteur nul (0; :::;0) ».
C’est bien parce que, nous sommes dans R et que R contient forcément 0 ?
Dans la 2eme démarche il est dit que « L’application (x1; :::;xn) -> x1 est une forme linéaire sur R^n »
J’aurais plutôt tendance à dire que c’est une forme linéaire de R^n dans R.

3ème démarche.
F = {(0,x2,…..,xn); (x2,……,xn)€ R^(n-1)} = {x2(0,1,0,…., 0)+……+xn(0,…,0,1); (x2,….,xn) €R^(n-1) }
= Vect((0,1,0,….,0),….,(0,….,0,1)).

Est ce que ici je peux dire que x2….xn sont des réels quelconque? Car nous avons la forme V2+….+;)Vn (combinaison linaire ) avec v2 =(0,1,0,…., 0) et Vn=(0,…,0,1).

j’ai toujours du mal à savoir dans des cas comme celui-ci,si je dois considérer les xn comme des vecteurs ou comme des scalaire.

[zaidoun]

Peux tu me donner un élémentde F?

[Berno]

Peux tu me donner un élémentde F?

Bonjour , oui dans F il y'a le vecteur nul. et tous les vecteurs de cordonnée (x1.....xn) avec x1 = 0 ?

[zaidoun]

voila, c'est bien: donc les coordonnées x_i sont des réels dans ton exemple.
Donc quel est votre problème? :ptdr:

[Berno]

voila, c'est bien: donc les coordonnées x_i sont des réels dans ton exemple.
Donc quel est votre problème? :ptdr:

mon problème et que je ne suis pas sur de moi ^^ .
pourrez vous s'il vous plait m'éclairer pour les autres questions que j'ai posé?

[zaidoun]

Dans la 2eme démarche il est dit que « L’application (x1; :::;xn) -> x1 est une forme linéaire sur R^n »
J’aurais plutôt tendance à dire que c’est une forme linéaire de R^n dans R.

C'est la même chose.

ème démarche.
F = {(0,x2,…..,xn); (x2,……,xn)€ R^(n-1)} = {x2(0,1,0,…., 0)+……+xn(0,…,0,1); (x2,….,xn) €R^(n-1) }
= Vect((0,1,0,….,0),….,(0,….,0,1)).

Est ce que ici je peux dire que x2….xn sont des réels quelconque? Car nous avons la forme V2+….+;)Vn (combinaison linaire ) avec v2 =(0,1,0,…., 0) et Vn=(0,…,0,1).

En dimension finie, on a vect {v_1, v_2, ...., v_n}={ av_1+ bv_2 +....+l v_n; a,b,...,l dans R} (ou bien dans C si tu travailles dans C)
x=(x_1,....., x_n) est un vecteur de R^n, mais x_1,..., x_n sont des réels.

[zaidoun]

Juste une remarque pour la forme linéaire: forme linéaire sur E càd application linéaire de E dans R (ou C), donc si j'ai dit que c'est une forme linéaire sur E, c'est clair que c'est une application linéaire de E dans R.