Exercice spécialité

[mat14men]

On nous a demandé de terminer un exercice mais je ne comprend pas du tout ce que je peux faire...


Soit (Un) la suite définie par Uo ;) 4 et pour tout entier naturel n Un+1 = 2Un – 3

1) Soit (Vn) la suite définie par : pour tout entier naturel n Vn = Un – 3.

a. Démontrer que la suite (Vn) est une suite géométrique.

b. En déduire l’expression de Vn en fonction de n puis celle de Un en fonction de n. (j'ai trouver les deux premières questions)

2) Déterminer les entiers naturels Uo tels que pour tout entier naturel n, 3Un est le cube d’un entier naturel.

3) On suppose que Uo = 4.

Déterminer toutes les valeurs de n telles que 3Un– 1 est un multiple de 11.

Mais je bloque totalement sur les 2 dernières... merci d'avance..

[mat14men]

Il faut se servir de formule de cours? Je ne trouve aucun exercice équivalent en plus..

[capitaine nuggets]

Salut !

On nous a demandé de terminer un exercice mais je ne comprend pas du tout ce que je peux faire...


Soit (Un) la suite définie par Uo 4 et pour tout entier naturel n Un+1 = 2Un – 3

1) Soit (Vn) la suite définie par : pour tout entier naturel n Vn = Un – 3.

a. Démontrer que la suite (Vn) est une suite géométrique.

b. En déduire l’expression de Vn en fonction de n puis celle de Un en fonction de n. (j'ai trouver les deux premières questions)

2) Déterminer les entiers naturels Uo tels que pour tout entier naturel n, 3Un est le cube d’un entier naturel.

3) On suppose que Uo = 4.

Déterminer toutes les valeurs de n telles que 3Un– 1 est un multiple de 11.

Mais je bloque totalement sur les 2 dernières... merci d'avance..

Que trouves-tu pour les deux premières questions ?

[Ben314]

Salut,
La question 2) est effectivement très "atypique" et pas évidente du tout (il faut avoir "la bonne idée"...)
Indication :
a) Montrer que, si un entier A est tel que 3A soit le cube d'un entier naturel alors 9 divise A.
b) En déduire que, si tout les Un étaient tels que 3Un soit le cube d'un entier naturel alors on aurait pour tout n.
c) En déduire une contradiction.

Pour la question 3) vu que tu connait Un en fonction de n (et de Uo, mais ici Uo=4), tu doit constater qu'il te suffit de savoir à quoi sont congrus les différents modulo 11.
Fait un tableau pour les premières valeurs de n (0,1,2,...) jusqu'à ce que tu trouve une "logique" dans la suite de nombres obtenus puis démontre que cette "logique" perdure...

[mat14men]

Pour la question 2, je n'ai pas compris du tout.. et la question 3 ducoup j'avais réussis! ça confirme ce que j'avais mis

[Ben314]

a) Si un entier A est tel que 3A soit le cube d'un autre entier B : 3A=B^3=BxBxB alors, comme 3 est un nombre premier qui divise (évidement) 3A, il doit diviser BxBxB donc un des 3 facteur.
Comme c'est 3 fois le même facteur, c'est que 3 divise B.
Mais, si 3 divise B alors 27=3x3x3 divise BxBxB=3A donc 9=27/3 divise A=(3A)/3.

b) Donc, si tout les Un étaient tels que 3Un soit le cube d'un entier naturel, il devrait tous être divisible par 9.

c) En particulier Uo devrait être divisible par 9, c'est à dire Uo=9k et on aurait U1=2Uo-3=18k-3 qui n'est pas divisible par 9 : contradiction.

Je ne pense pas que c'est comme ça qu'on attendais que tu le fasse mais... j'ai pas trouvé autre chose... :hum:

[mat14men]

C'est en effet assez compliqué... je vais essayer de comprendre, merci beaucoup!