Spécialité mathématiques terminale scientifique : exercice congruence

Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
arnaud-ch
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spécialité mathématiques terminale scientifique : exercice congruence

par arnaud-ch » 27 Déc 2008, 23:51

Bonjour à tous.
Je suis en terminale S et j'ai un exercice de spécialité qui me pose quelques soucis. J'ai réussi les deux premières questions mais je n'arrive pas à la dernière (3). Merci de votre aide.

Voici l'énoncé complet :

On note (E) l'ensemble des entiers naturels qui peuvent s'écrire sous la forme 9 + a² où a est un entier naturel non nul; par exemple :
10 = 9 + 1²; 13 = 9 + 2², ...
On se propose dans cet exercice d'étudier l'existence d'éléments de (E) qui sont des puissances de 2, 3 ou 5.

1) Etude de l'équation d'inconnue a :
a² + 9 = 2^n, où a € N, n € N et n ;) 4.
a) Montrer que si a exsite, a est impair.
b) En raisonnant modulo 4, montrer que l'équation proposée n'a pas de solution.

2) Etude de l'équation d'inconnue a :
a² + 9 = 3^n, où a € N, n € N et n ;) 3.
a) Montrer que si n ;) 3, 3^n est congru à 1 ou 3 modulo 4.
b) Montrer que si a exsite, il est pair et en déduire que nécessairement n est pair.
c) On pose n=2p , où p est un entier naturel tel que p ;) 2. Déduire d'une factorisation de 3^n - a² que l'équation proposée n'a pas de solution.

3) Etude de l'équation d'inconnue a :
a² + p = 5^n où a € N, n € N, n ;) 2.
a) En raisonnant modulo 3, montrer que l'équation est impossible si n est impain.
b) On pose n=2p. En s'inspirant de 2c), démontrer qu'il existe un unique entier naturel a tel que a² + 9 soit une puissance entière de 5.



XENSECP
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par XENSECP » 28 Déc 2008, 00:49

Ok mais où en es tu ?

guigui51250
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par guigui51250 » 28 Déc 2008, 11:52

arnaud-ch a écrit:1) Etude de l'équation d'inconnue a :
a² + 9 = 2^n, où a € N, n € N et n ;) 4.
a) Montrer que si a exsite, a est impair.


test avec a pair et a impair et tu conclu


arnaud-ch a écrit:b) En raisonnant modulo 4, montrer que l'équation proposée n'a pas de solution.


a est de la forme 2k+1 puisqu'il est impair donc tu remplace a par 2k+1 puis tu regarde ce que ça donne modulo 4

arnaud-ch a écrit:2) Etude de l'équation d'inconnue a :
a² + 9 = 3^n, où a € N, n € N et n ;) 3.
a) Montrer que si n ;) 3, 3^n est congru à 1 ou 3 modulo 4.


tu regarde poru n pair et n impair (comme dab)

arnaud-ch a écrit:b) Montrer que si a exsite, il est pair et en déduire que nécessairement n est pair.


pareil que dans la première partie

arnaud-ch a écrit:c) On pose n=2p , où p est un entier naturel tel que p ;) 2. Déduire d'une factorisation de 3^n - a² que l'équation proposée n'a pas de solution.


identité remarquable a²-b²

arnaud-ch a écrit:3) Etude de l'équation d'inconnue a :
a² + p = 5^n où a € N, n € N, n ;) 2.
a) En raisonnant modulo 3, montrer que l'équation est impossible si n est impain.


on pose n=2k+1 puis on regarde ce que ça donne modulo 3

arnaud-ch a écrit:b) On pose n=2p. En s'inspirant de 2c), démontrer qu'il existe un unique entier naturel a tel que a² + 9 soit une puissance entière de 5.


en s'inspirant de 2c ^^

voilà c'est toujorus pareil, pair ou impair...

arnaud-ch
Messages: 3
Enregistré le: 27 Déc 2008, 23:40

compléments

par arnaud-ch » 28 Déc 2008, 13:52

Voila ce que j'ai trouvé. les questions auxquelles je n'ai pas su répondre sont marquées d'un point d'interrogation. Je bloque à quelques endroits dans la questions 2) mais ce qui m'inquiète le plus c'est que je n'arrive pas à la question 3). Si quelqu'un pouvait m'aider, ce serait vraiment très sympatique. Merci.

1) a) Supposons que a est pair.
9 est impair
a² est pair
donc a² + 9 est impair.
Or, 2n est pair donc, l'équation n'a pas de solution.
Si a existe, a n'est pas pair.
a est donc impair.

b) a est impair donc
soit a ;) 1(4)
soit a ;) 3(4)
On a alors a² ;) 1(4) ou a² ;) 9(4) or, a² ;) 9(4) équivaut à a² ;) 1(4) donc a² est toujours congru à 1 modulo 4.
a² + 9 ;) 10(4) ce qui équivaut à a² + 9 ;) 2(4).
or 2n ;) 0 (4)
donc l'équation n'a pas de solution.

2) a) ?
b) Supposons que a est impair.
9 est impair
a² est impair
donc a² + 9 est pair.
Or, d'après 2a), o sait que 3n ;) 1 ou 3 (4) donc 3n est impair donc l'équation n'a pas de solution.
Si a existe, a n'est pas impair.
a est donc pair.
Ensuite, il reste à déduire que nécessairement n est pair ???
c) 3n -a²
32p - a²
(3p - a) ( 3p + a)
or a² + 9 = (a + 3) (a - 3).
Après on a a² - 9 = 3n devient 3n - a² = -9.. et là, je bloque ???

3) a) ???
b) ???

guigui51250
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par guigui51250 » 28 Déc 2008, 14:34

re

pour la 2a, il y a 2 cas à distinguer :
- n=2k donc 3^n est congru à 1 modulo 4 puisque 3^2 est congru à 1 modulo 4
- n=2k+1 donc 3^n est congru à 3 modulo 4 puisque 3^2k est congru à 1 modulo 4

pour la 2c, 3^2p-a²=(3^p-a)(3^p+a), ce que tu as fais est faux pour cette question

et pour la question 3 c'est le même principe que les autres questions, il faut étudier les cas pair ou impair puis conclure

 

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