Exercice de spécialité

[Krayz]

Bonjour,

Exercice : Est-il parfait ?

On dit qu'un nombre est parfait s'il est égal à la somme de ses diviseurs propres (c'est-à-dire autre que lui même).
On dit qu'un nombre est déficient s'il est strictement supérieur à la somme de ses diviseurs propres.
Il est dit abondant dans le cas où il est strictement inférieur à la somme de ses diviseurs propres.

1) Donner la nature des nombres suivants : 6, 17, 28, 56.

2) Que fait l'algorithme ci-contre ?

Question 2

Sans titre.png (8.08 Kio) Vu 1472 fois

3) En modifiant et programmant l'algorithme précédent, déterminer le nombre d'entiers déficients, parfaits et abondants entre 0 et 100. Ecrire votre algorithme sur votre copie.

4) Montrer que :
a) Les nombres premiers sont nombres déficients.
b) Les multiples de 20 sont des nombres abondants.

Mes réponses :

1) Les nombres 6, 17, 28, 56 sont respectivement parfait, déficient, parfait et abondant.
2) Il s'agit d'un programme qui calcule la somme des diviseurs propres de N.
3) Voici une ébauche qui probablement est incomplète :

Variables : D, P, N : entiers ;

Début

Lire N
Pour N allant de 0 à 100
S <- 0
Pour I allant de 1 à N-1
Si Frac (N/I) = 0
alors S <- S+I
Fin Pour
Si N > S
alors D <- D+1
Sinon
Si S = N
alors P <- P+1
Fin Si

[ludo60]

Salut,

j'ai regardé en diagonale ton algorithme et il m'a l'air correct.

Tu as réussi les autres questions ?

[Krayz]

L'algorithme comportait quelques erreurs.

Variables : D, P, N : entiers ;

Début

Pour N allant de 0 à 100

S <- 0
Pour I allant de 1 à N-1
Si Frac (N/I) = 0
alors S <- S+I
Fin du si
Fin Pour
D <- 0
P <- 0
Si N > S
alors D <- D+1
Sinon
Si N = S
alors P <- P+1
Fin du si
Fin Si
Fin du pour
Afficher "le nombre de nombres déficients entre 0 et 100 est" D
Afficher "le nombre de nombres parfaits entre 0 et 100 est " P
Afficher "le nombre de nombres abondants entre 0 et 100" est 101-D-P

[Krayz]

J'ai fait toutes les questions sauf la dernière : la 4) b)

Je bute dessus.


et je bloque pour la démo

[Pseuda]

Bonsoir,

Tu peux montrer déjà que 20 est abondant. Maintenant, tu prends 20*k, quels diviseurs a-t-il au moins ?

[Krayz]

Bonsoir Pseuda, merci de m'avoir répondu.

J'ai déjà montré que 20 est un nombre abondant sur ma copie :

D(20) = {1;2;4;5;10;20}

Un nombre est abondant s'il est strictement inférieur à la somme de ses diviseurs propres.

Or, 20 < 22 donc 20 est abondant.

Les diviseurs de 20k sont 2, 4, 5, 10 et 20

[Pseuda]

Oui, mais encore ? Il y a k, 2k, ...

[Krayz]

20k = 2*10k = 4*5k

[Krayz]

20k = 2*2*5k

[Pseuda]

Il faut établir une liste de diviseurs de 20*k dont la somme est supérieure à 20*k.

[Krayz]

20k = 2*10k = 4*5k

Or 2*10k+4*5k = 40k qui est supérieure à 20k

[Pseuda]

Non ça ne va pas, c'est le même diviseur 20k écrit autrement. Il faut des diviseurs différents bien entendu.

[Krayz]

Je ne comprends pas alors.

[Krayz]

20k = 2*10k = 4*5k = 5*4k

?

[Pseuda]

Parmi les diviseurs propres de 20*k, il y a tous les diviseurs propres de 20 (1,2,4,5,10) * k, soit 1*k, 2*k, 4*k, etc...

[Krayz]

D(20k) = {k ; 2k ; 4k ; 5k ; 10k ; 20k}

Un nombre est abondant s'il est strictement inférieur à la somme de ses diviseurs propres.

Or, la somme des diviseurs propres de 20k est la suivante : k+2k+4k+5k+10k = 22k.

Finalement, 20k < 22k donc tous les multiples de 20 sont des nombres abondants.

[Krayz]

Je tournais autour du pot !

[Pseuda]

Ok. Mais 20*k peut avoir d'autres diviseurs propres que 1*k, 2*k, 4*k, 5*k et 10*k, notamment si k>=2 ou k non premier.

[Pseuda]

Je tournais autour du pot !

Oui en effet.

[Krayz]

Mais 20*k peut avoir d'autres diviseurs propres que 1*k, 2*k, 4*k, 5*k et 10*k

Comme par exemple ?