Exercice de Spécialité maths

[deadinsoul]

Bonsoir, voici l'exercice:

On pose u = 2+V3 et v = 2-V3

1) Démontrer par récurrence que, n désignant un entier positif, on peut écrire u^n = a_n + b_nV3 et v^n=a_n - b_nV3 où a_n et b_n sont des entiers positifs.

Exprimer a_(n+1) et b_(n+1) en fonction de a_n et b_n.

2) Etablir les égalité (a_n)² - 3 (b_n)² = 1 et a_n*b_(n+1) - a_(n+1)*b_n = 1.

En déduire que les fractions a_n/b_n, a_(n+1)/an, b(n+1)/bn sont irréductibles.

3) Déterminer les limites des suites (U^n) et (V^n) ; en déduire que les limites des suites a_n et b_n, puis celle de la suite (Wn)=a_n/b_n.

Calculer a_8, b_8, donner une valeur approchée de u^8 et en déduire que a_8/b_8 est une valeur approché rationelle de V3 avec une précision supérieur à 10^-7.

(V= racine ²)

Je suis bloqué dès la première question:

Initialisation:

u^0=(2+V3)^0=1
v^0=(2-V3)^0=1

Hérédité:

u^(n+1)=u^n.u^1=(a_n + b_nV3)(2+V3)
v^(n+1)=v^n.v^1=(a_n - b_nV3)(2-V3)

u^(n+1) = 2a_n + a_nV3 + 2b_nV3 + 3b_n = a_n(2+V3) + b_n(3+2V3)
v^(n+1) = 2a_n - a_nV3 - 2b_nV3 + 3b_n = a_n(2-V3) + b_n(3-2V3)

u^(n+1)=V3(a_n + 2b_n) +2a_n +3b_n
v^(n+1)=V3(-a_n - 2b_n) +2a_n +3b_n

Ensuite je n'arrive pas a identifier a_(n+1) et b_(n+1)

[Primperan]

Bonsoir,

Tu n'es vraiment pas loin pour la question 1, tu as tu as trouvé les bons résultats. Maintenant tu cherches à les écrire sous la forme :
u^(n+1) = a_n+1 + (b_n+1);)3
v^(n+1) = a_n+1 - (b_n+1);)3

En fait tu l'as presque déjà fait, il ne te manque plus qu'une factorisation par -1 dans l'expression de v^(n+1)

[deadinsoul]

Bonsoir,

Tu n'es vraiment pas loin pour la question 1, tu as tu as trouvé les bons résultats. Maintenant tu cherches à les écrire sous la forme :
u^(n+1) = a_n+1 + (b_n+1);)3
v^(n+1) = a_n+1 - (b_n+1);)3

En fait tu l'as presque déjà fait, il ne te manque plus qu'une factorisation par -1 dans l'expression de v^(n+1)

Je ne vois pas comment vous passer de ma réponse à
u^(n+1) = a_n+1 + (b_n+1);)3
v^(n+1) = a_n+1 - (b_n+1);)3

Pouvez-vous me l'expliquer avec les étapes s'il vous plait ?

[Primperan]

Ah c'est dommage, tu y es presque ! En fait tu veux avoir l'égalité suivante :
2a_n +3b_n + (a_n + 2b_n);)3 = a_(n+1) + b_(n+1);)3

Eh bien... et si tu disais que 2a_n + 3b_n = a_(n+1) et que a_n + 2b_n = b_(n+1) ?

(Je n'avais pas été très clair avec mes parenthèses, désolé si c'est ça qui t'a troublé)
Il n'y a pas d'autre étape en fait, c'est juste qu'il faut le voir. Même chose pour l'équation de v^(n+1), et si on trouve la même chose alors la récurrence est vraie !

[deadinsoul]

Ah c'est dommage, tu y es presque ! En fait tu veux avoir l'égalité suivante :
2a_n +3b_n + (a_n + 2b_n);)3 = a_(n+1) + b_(n+1);)3

Eh bien... et si tu disais que 2a_n + 3b_n = a_(n+1) et que a_n + 2b_n = b_(n+1) ?

(Je n'avais pas été très clair avec mes parenthèses, désolé si c'est ça qui t'a troublé)
Il n'y a pas d'autre étape en fait, c'est juste qu'il faut le voir. Même chose pour l'équation de v^(n+1), et si on trouve la même chose alors la récurrence est vraie !

Je suis daccor avec vous mais comment sait-on que a_(n+1)=2a_n + 3b_n et que b_(n+1)= a_n + 2b_n ?

[Primperan]

ça se voit, il n'y a pas d'explication plus simple :)
C'est comme si tu avais ax+by = cx+dy, tu peux voir facilement que ça fonctionne en prenant a=c et b=d. Ici on ne cherche pas à avoir toutes les solutions possibles, mais au moins une solution qui fonctionne à tous les coups. Celle-ci est évidente et fonctionne toujours, donc c'est parfait.

[Primperan]

En plus dans ce cas c'est la seule solution :) tout ça pour dire que tu n'as pas besoin de le démontrer puisque dans ce cas là c'est supposé sauter aux yeux.

[deadinsoul]

ça se voit, il n'y a pas d'explication plus simple
C'est comme si tu avais ax+by = cx+dy, tu peux voir facilement que ça fonctionne en prenant a=c et b=d. Ici on ne cherche pas à avoir toutes les solutions possibles, mais au moins une solution qui fonctionne à tous les coups. Celle-ci est évidente et fonctionne toujours, donc c'est parfait.

Je n'arrive pas à la voir mais si c'est évident pour voir et que sa correspond sa ne peut être que ça ^^'

[Primperan]

Tu n'arrives pas à le voir?

u^(n+1) = (quelque_chose) + (autre_chose);)3
u^(n+1) = a_(n+1) + b_(n+1);)3

alors quelque_chose = a_(n+1) et autre_chose = b_(n+1)

[deadinsoul]

Tu n'arrives pas à le voir?

u^(n+1) = (quelque_chose) + (autre_chose);)3
u^(n+1) = a_(n+1) + b_(n+1);)3

alors quelque_chose = a_(n+1) et autre_chose = b_(n+1)

Ah! Daccor oui ça l'est + merci ^^

Et du coup en même temps que la réccurence on a exprimer a_(n+1) et b_(n+1) comme demandé.

[Primperan]

Eh oui, d'une pierre deux coups :)
Attention j'ai remarqué que dans ton initialisation tu as calculé les valeurs de u0 et v0, c'est pas faux mais ça ne permet pas de conclure que u_0 = a_0 +b_0;)3 et v_0 = a_0 -b_0;)3. Il faut que tu trouves les valeurs de a_0 et b_0 pour lesquelles c'est vrai.

[deadinsoul]

Je dois trouver a b pour que u^0 et v^0 soit égal à 1 ?

[Primperan]

oui, enfin pour que a_0 +b_0;)3 et a_0 -b_0;)3 soit égaux à 1 et donc à u;) et v;)

[Primperan]

Il n'y a pas de piège, c'est vraiment simple :)

[deadinsoul]

Il n'y a pas de piège, c'est vraiment simple

a_0 = 1/2 et b_0 = 0 ?

[Primperan]

a_0 = 1/2 et b_0 = 0 ?

Non... a_0 = 1

[deadinsoul]

Non... a_0 = 1

Mais a_0 est multiplier ensuite par 2 ?

Si on fait un système comme ceci:

2x + yV3 = 1 (1)
2x - yV3 = 1 (2)
(2)-(1):
2yV3 = 0 y = 0

2x=1 x=1/2

Non ?

[Primperan]

Non tu confonds, tu dois montrer que u;) = a_0 +b_0;)3 et v;) = a_0 -b_0;)3. Ici il n'y a pas de 2

[deadinsoul]

Non tu confonds, tu dois montrer que u;) = a_0 +b_0;)3 et v;) = a_0 -b_0;)3. Ici il n'y a pas de 2

Mais u=2+V3 donc u^0=(2+V3)^0

Si a_0 = 2 alors b_0 = V3 ?

[Primperan]

N'oublie pas la puissance 0, u;) = (2+;)3);) = 1
donc a_0 + ;)3*b_0 = 1