[Géométrie] Cercles et séparateurs

[wkj]

Salut,

Un cercle est appelé séparateur par rapport à un ensemble de 5 points si 3 points appartiennent au cercle, un est à l'intérieur du cercle et le dernier à l'extérieur du cercle.

Si pour tout ensemble de 5 points tel que aucun des 3 points parmis les 5 ne soient alignés et tel que aucun des 4 points parmis les 5 ne soient cocycliques, alors combien de séparateurs admet cet ensemble de points ?

[LeJeu]

Salut,

Un cercle est appelé séparateur par rapport à un ensemble de 5 points si 3 points appartiennent au cercle, un est à l'intérieur du cercle et le dernier à l'extérieur du cercle.

Si pour tout ensemble de 5 points tel que aucun des 3 points parmis les 5 ne soient alignés et tel que aucun des 4 points parmis les 5 ne soient cocycliques, alors combien de séparateurs admet cet ensemble de points ?

un premier encadrement...

Si on considère les points 2 par deux il y a tjrs un cercle qui passe par ces 2 points qui convient, parfois deux , jamais trois je pense...

Il y 10 couples de points, donc entre 10 et 20 cercles, mais en procédant ainsi on compte les cercles trois fois, le nombre doit donc être divisible par 3

donc je dirais 4,5 ou 6

[beagle]

un premier encadrement...

Si on considère les points 2 par deux il y a tjrs un cercle qui passe par ces 2 points qui convient, parfois deux , jamais trois je pense...

Il y 10 couples de points, donc entre 10 et 20 cercles, mais en procédant ainsi on compte les cercles trois fois, le nombre doit donc être divisible par 3

donc je dirais 4,5 ou 6

perso j'arrive pas jusqu'à 5 ou 6,
donc c'est 4.
4 Jean-Pierre!

En fait j'hésite aussi avec 3.

3 ou 4 mon coeur balance!

[beagle]

argh, je suis à 4 ou à 3
je suis en 2+1 ou 2+1+1
sur mes exemples un peu extrèmes, certes mais bon

Je suis en 2/6 avec point A + 1 ou 0 sur 3 avec B (sans A) + 1/1 (CDE)

PS:pas le temps de vérifier mais le 3 doit ètre faux.

Donc je reste sur 4.
Mais jean-Pierre, je vais téléphoner à LeJeu.

[LeJeu]

Je cherchais un dual ou quelque chose du genre .j'ai un truc qui va te plaire cher Beagle..

Un plan est appelé séparateur de 5 points s'il passe par trois points et si les deux autres points sont chacun d'un cote du plan..

Les deux problèmes sont ils équivalents ?

J'ai l'impression que le deuxième est plus facile et donne clairement quatre ? ( une fois un plan trouve,son triangle avec de chaque côté un tétraèdre, on a de plus les trois plans passant par les deux sommets des 2 tétraèdres et un point du triangle)

Bon je te laisse dessiner la bijection entre cercle et plan....

[beagle]

Bravo LeJeu, bien joué.
C'est un peu fort pour moi.
Au lieu de tourner en rond, transposer en 3D c'est guère mieux pour moi,
rappelle toi allo Houston de quand nous étions jeunes sur maths forum!

[LeJeu]

Bon ne nous enthousiasmons pas trop quand même, je pense que ma démo qui causait tétrèdre doit être un peu fausse, mais la dualité entre les deux pb me semble esthétique, reste à la prouver..

(Pour moi c'est plus facile de voir en 3d , il me semble que j'arrive à voir tous les points, tous les plans, sans dessiner)

Sinon quand même, ils sont sympas les gars de nous avoir laissé les clefs du local pendant leurs vacances.... Tu te rends compte tu peux lire un pb le matin qui date de la veille y répondre à midi .
Normalement quand j'arrive tout est bouclé depuis longtemps....

Mais c'est vrai, ils nous manquent quand même :-)

[LeJeu]

Bonjour tout le monde,
Bonjour Beagle,

J'ai fait mes devoirs de vacances : quatre c'est définitivement quatre Beagle !

On veut montrer que pour cinq points on a toujours quatre cercles séparateurs :



Je me propose de montrer que

1) Si on trace tous les cercles Il y a toujours un point qui n’est contenu dans aucun cercle


2) Par quatre points ont peut toujours faire passer 2 cercles, un point de chaque cercle étant intérieur à l’autre


3) On a les quatre cercles cherchés en ajoutant les deux cercles qui passent par
- le point extérieur et BD ( les deux points intérieurs de la figure précédente)
- le point extérieur et AC les deux autres points


4) Les autres cercles ne conviennent pas

[LeJeu]

1) on veut montrer l'existence d'un point extérieur


a) il existe au moins un cercle contenant deux points :

( il suffit de choisir une droite passant par deux points avec tous les autres points du même coté , cette droite est un cercle dégénéré de rayon infini, en faisant diminuer le rayon on va encercler les trois autres points, jusqu’à passer par un des points, et encercler alors les deux autres points)


b) On dessine les trois cercles passant par les points intérieurs AD

On a toujours deux cercles qui ne contiennent aucun point et un troisième qui contient un point , en effet la droite AD sépare le plan en deux, d’un coté deux points (B et C dans notre cas) de l’autre un (E dans notre cas)
=>Et on a soit le cercle qui passe B qui contient C soit le contraire

c)On dessine ensuite les trois cercles passant par A ( mais pas par D)

Si A est extérieur au triangle le point opposé est contenu dans un des cercles ( le point C ici)

d) Remarque , si A est intérieur c’est encore mieux aucun point n’est contenu


e) Pour le point D c’est évidemment la même chose, le cas non trivial est donc quand A et D sont extérieurs au triangle, car dans ce cas on a deux points du triangles qui sont encerclés :


f) Mais comme vu précédemment,B et C étant du même coté de la droite AD les cercles passant par AD englobent aussi B ou C …



E n'est donc contenu dans aucun cercle
CQFD

[LeJeu]

2)Par quatre points ont peut toujours faire passer 2 cercles, un point de chaque cercle étant intérieur à l’autre


a) On trace le cercle passant par A B et D , supposons C à l’extérieur


b) Alors le cercle passant par AB et C est de rayon supérieur et englobe D


c) De même le cercle passant par AD et C englobe B


d) remarque : si C est à l'intérieur du cercle ABD, c'est encore plus simple

[LeJeu]

3° On a les quatre cercles cherchés en ajoutant les deux cercles qui passent par
. le point extérieur et BD ( les deux points intérieurs de la figure précédente)
. le point extérieur et AC les deux autres points

a) Le point E étant à l’extérieur de tout, les deux cercles du 2) sont séparateurs

b) Le point E étant extérieur à ces deux cercles, le cercle ACE va englober soit le point D soit le point B ( suivant sa position par rapport à la droite à AC , dans notre cas le point D
Et parce que E est extérieur au cercle ABC, le cercle ACE ne contient pas B


c) De même pour le cercle BDE


e) pour donner

[LeJeu]

4) Les autres cercles ne conviennent pas :

a) Trois cercles passant par E contiennent les deux autres points


b) Un cercle passant par E n’en contient aucun


c) Et pour finir les deux cercles ABD et CBD ne contiennent aucun point



4+3+1+2 = 10 le compte y est !
Vivent les vacances

[beagle]

L'a pas besoin de cahiers de vacances LeJeu!!!!
Quel boulot!