Recouvrement par des cercles...

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Ben314
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Recouvrement par des cercles...

par Ben314 » 01 Mar 2010, 01:17

Salut,
J'en ressort une autre du bouquin de P.H. (que j'ai de nouveau paummé).
Elle est en deux parties :

1) Peut on partitionner le plan affine euclidien à l'aide de cercles de rayons non nuls (i.e. trouver une (grosse) familles de cercles disjoints dont la réunion est le plan tout entier) ?

2) Peut on partitionner l'espace affine euclidien de dimension 3 à l'aide de cercles de rayons non nuls (attention, on parle bien ici de cercles et pas de sphères) ?

Je pense que la réponse au 1) est assez intuitive, mais la preuve risque peut-être de poser problème (il faut quand même un peu de maths...)
Pour la 2), c'est plus interessant car... l'intuition dans R^3, c'est pas toujours façile...
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Nightmare
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par Nightmare » 01 Mar 2010, 01:36

Salut !

1) On parle de cercles ou de disques ? C'est à dire qu'un point quelconque du plan affine doit il forcément être sur un cercle ou seulement contenu dans un disque?

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Ben314
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par Ben314 » 01 Mar 2010, 01:38

Je parle bien de cercles (ni de disque, ni de sphère ou de boules dans la cas du 2)) [ de rayon non nuls] Tout point doit être sur un des cercles (et pas "à l'intérieur")

Je pense qu'avec des disques, la réponse serait "oui" pour le 1) et le 2)...
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Nightmare
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par Nightmare » 01 Mar 2010, 01:40

Dans ce cas ça me semble fort peu probable, les points à l'intérieur d'un cercle donné doivent appartenir à un unique cercle inclus dans le premier. On a alors un emboitement de cercle. En les construisant bien (j'ai pas de condition nécessaire mais sur mon dessin ça marche !) on crée un point de convergence qui ne peut forcément être sur aucun cercle.

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Ben314
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par Ben314 » 01 Mar 2010, 01:44

Tout à fait thierry, tout à fait...
Ceci constitue la réponse à la 1).
On peut, si on veut, chercher une "belle preuve" bien mathématique pour prouver l'existence du fameux point de convergence OU BIEN, se fier à son intuition et passer directement à la 2)...
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Nightmare
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par Nightmare » 01 Mar 2010, 01:47

pour le moment je cherche le 1) avec des disques et j'ai bien l'impression que c'est non aussi !

Pour les cercles, j'écrirais plus tard mais j'ai mon idée (suites adjacentes).

Doraki
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par Doraki » 01 Mar 2010, 01:47

1) C'est pas possible.
On construit une suite de points A0 quelconque et A(n+1) = le centre du cercle sur lequel se trouve An...

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par Ben314 » 01 Mar 2010, 01:50

Doraki a écrit:1) C'est pas possible.
On construit une suite de points A0 quelconque et A(n+1) = le centre du cercle sur lequel se trouve An...
EXACT... (il y a sans doute d'autres méthodes mais celle là me semble la plus simple.

Par contre, [pour Nightmare] pour la partition de R^2 avec des disques, je suis intuitivement convaincu que c'est possible...

P.S. Il faudrait aussi s'entendre sur le fait que l'on prend des disques fermés ou ouverts... [je pense que c'est possible dans les deux cas]
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Nightmare
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par Nightmare » 01 Mar 2010, 01:52

On parle bien de disques fermés? En particulier on ne peut pas avoir de disques tangents !

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Ben314
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par Ben314 » 01 Mar 2010, 01:55

Bon, j'ai (déjà) dit une connerie, avec des disques ouvert ça coince dés le premier disque D : si on prend un point M à la frontière de D, tout disque D' contenant M rencontrera D...

Donc, effectivement, on parle de disques fermés...

P.S. Pour vraiment dire qu'avec des ouverts, j'ai dit une connerie, il y a aussi le fait que, si c'était posible, le recouvrement par des disques ouvert de compacts de R², ç'est pas trop façile à part avec un seul disque...
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par Nightmare » 01 Mar 2010, 01:56

exact. Et disque fermés je pense avoir montré que... c'était impossible aussi :lol3: je vérifie avant de poster pour t'éviter d'avoir à me contredire !

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par Nightmare » 01 Mar 2010, 01:57

En fait il est clair qu'on est forcé d'avoir des disques tangents.

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par Ben314 » 01 Mar 2010, 02:11

Je suis d'accord sur l'impossibilité, mais mon raisonnement est un peu long : je montre que l'on ne peut pas recouvrir [0,1] par des segments fermés disjoints de longueur non nulle...

Comment tu fait ?
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par Nightmare » 01 Mar 2010, 02:13

Ben a peu près pareil, avec du Baire...

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par Nightmare » 01 Mar 2010, 02:14

Sauf que je n'arrive pas à choisir correctement ma correspondance avec [0,1] ...

Edit : J'entends par là que, je pense comme toi, il y avait un problème avec les points où les disques sont tangents, qui ne peuvent être qu'en nombre dénombrable, du coup je considère des chemins qui passent par ces points et je voudrai montrer que ça engendre qu'ils passent forcément par des "vides".

Edit 2 : Et je coince pour justifier mon "je considère des chemins blablabla", je ne trouve pas les bons pour avoir un problème de dénombrabilité.

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par Ben314 » 01 Mar 2010, 02:17

Ca doit effectivement le faire....

Conclusion, au niveau intuition, ce soir, Ben=Zéro !!!

Bon, j'en déduit qu'il est l'heure d'aller me coucher.
Je te laisse cogiter le 2) [avec des cercles de R^3, c'est à dire des intersections de sphères euclidiennes et de plans, évidement les cercles non réduits à des points]
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par Nightmare » 01 Mar 2010, 02:18

Il est l'heure pour moi aussi, j'y réfléchirai avant mon sommeil profond.

Bonne nuit !

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Ben314
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par Ben314 » 01 Mar 2010, 02:23

Pour "ma preuve", j'ai pris un carré de R² (assez grand ??), puis j'ai dit qu'il ne pouvait couper qu'un nombre dénombrable de disques (pour des arguments de surfaces) donc qu'il existe un segment reliant deux cotés opposés du carré et tangent à aucun des disques.
Cela signifie que le segment est recouvert par des segments fermés de longueur non nulle.
Ensuite, je fait l'hypothése qu'il y en as au moins 2 segments [?,a0] et [b0,?] (le carré est assez grand : au fond il me manque un truc là) puis je prend deux segments entre ces deux [?,a1] et [b1,?] etc (suites adjacentes...)
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par ffpower » 01 Mar 2010, 10:21

D'une maniere générale, un espace complet connexe n'est pas réunion dénombrable de fermés disjoints. ( grace à du Baire en effet )

Nightmare
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par Nightmare » 01 Mar 2010, 14:12

Salut !

J'ai réfléchis pour l'espace et la seule chose qui m'est venue à l'esprit est une sorte de Slinky (espèce de ressort pour les enfants qui descend les escaliers) avec des cercles de plus en plus petit à ses extrémités. Problème, du coup on a deux trous aux extrémités et du coup même en collant des slinky arrangés on aura beaucoup de trous et je ne suis pas sûr qu'on puisse les combler par des cercles...

 

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