Cercles et hexagone

[chan79]

Bonjour
On "remplit" de disques de même rayon, un hexagone régulier de côté 1, en mettant n disques le long de chaque côté comme dans le dessin ci-dessous où n=6.


Quelle est la limite quand n tend vers l'infini de ?

[hammana]

Bonjour
On "remplit" de disques de même rayon, un hexagone régulier de côté 1, en mettant n disques le long de chaque côté comme dans le dessin ci-dessous où n=6.


Quelle est la limite quand n tend vers l'infini de ?

Bien que ce ne soit pas nécessaire, c'est un bon exercice de calculer en fonction du côté de l'hexagone, le nombre et le rayon des cercles qu'on peut y loger.

[LeJeu]

Bien que ce ne soit pas nécessaire, c'est un bon exercice de calculer en fonction du côté de l'hexagone, le nombre et le rayon des cercles qu'on peut y loger.

Salut...

C'est marrant mais en première réponse j'aurais dit 1.... n'importe quoi ...
en deuxième réponse je me suis dit qu'il y avait toujours ce petit interstice entre les cercles..




La figure ci dessus pave le plan,

Et plus on augmente le nombre de cercles et plus les effets de bords ( la frontière de l'hexagone de la figure globale) sont minimisés


en premiere vue le ratio est supérieur à 3/4 ( trois triangles sur quatre)

pour un ratio exact de ( un peu plus de 90%)

[chan79]

Salut...

C'est marrant mais en première réponse j'aurais dit 1.... n'importe quoi ...
en deuxième réponse je me suis dit qu'il y avait toujours ce petit interstice entre les cercles..




La figure ci dessus pave le plan,

Et plus on augmente le nombre de cercles et plus les effets de bords ( la frontière de l'hexagone de la figure globale) sont minimisés


en premiere vue le ratio est supérieur à 3/4 ( trois triangles sur quatre)

pour un ratio exact de ( un peu plus de 90%)

c'est bien ça
Pour le vérifier, on peut exprimer en fonction de n, le nombre de disques, le rayon des disques et le rapport (somme des aires des disques)/(aire de l'hexagone) et faire tendre n vers l'infini.
C'est aussi la densité maximale d'arrangements de cercles de même rayon dans le plan.

[Archytas]

Question bête : comment es-tu sûr que les cercles s'arrangeront toujours tous aussi bien que sur la figure ? Qu'ils seront tous tangents à ceux de leur entourage ou au bord de l'hexagone ?

[chan79]

Question bête : comment es-tu sûr que les cercles s'arrangeront toujours tous aussi bien que sur la figure ? Qu'ils seront tous tangents à ceux de leur entourage ou au bord de l'hexagone ?

Les centres sont les noeuds d'un réseau triangulaire (équilatéral)

[LeJeu]

Question bête : comment es-tu sûr que les cercles s'arrangeront toujours tous aussi bien que sur la figure ? Qu'ils seront tous tangents à ceux de leur entourage ou au bord de l'hexagone ?

Bonsoir,

le triangle que je propose, donne bien un pavage avec des cercles tangents entre eux comme sur la figure de Chan

Il y a effectivement un problème ( une particularité plutot) sur le bords

1) perso je vois le problème avec des cercles à rayons constants et la frontière de l'hexagone est repoussée à l'infini et " me semble négligeable"

2) sinon en calculant le rapport exact, l'effet du bord est au numérateur en "n", la surface au dénominateur est en n² et donc devient donc négligeable quand n augmente


Ps on peut facilement calculer le nombre de disques en dessinant des hexagones concentriques
nb = 1 + 6 ( 1+2+3+4+5)
sur la figure de chan
on calcule le rayon du cercle en comptant le nombre de cercles sur un "rayon de l'hexagone" ( segment du centre au sommet)
R = r*( (n-1) +V3/4)

[hammana]

Bonsoir,

le triangle que je propose, donne bien un pavage avec des cercles tangents entre eux comme sur la figure de Chan

Il y a effectivement un problème ( une particularité plutot) sur le bords

1) perso je vois le problème avec des cercles à rayons constants et la frontière de l'hexagone est repoussée à l'infini et " me semble négligeable"

2) sinon en calculant le rapport exact, l'effet du bord est au numérateur en "n", la surface au dénominateur est en n² et donc devient donc négligeable quand n augmente


Ps on peut facilement calculer le nombre de disques en dessinant des hexagones concentriques
nb = 1 + 6 ( 1+2+3+4+5)
sur la figure de chan
on calcule le rayon du cercle en comptant le nombre de cercles sur un "rayon de l'hexagone" ( segment du centre au sommet)
R = r*( (n-1) +V3/4)

Une manière légèrement différente de voir les choses:

Si on place n cercles sur un côté de l'hexagone, et en considérant les progressions arithmétiques du nombre de cercles sur les lignes parallèles, on trouve que le nombre de cercles qu'on peut loger dans l'hexagone est:

3n²-3n+1.

Je pense au pavage par des hexagones(comme un nid d'abeilles), chaque hexagone contenant un cercle. Quand n tend vers l'infini l'effet de bord devient effectivement négligeable, le rapport cherché est égal au rapport de l'aire du cercle à l'aire de l'hexagone régulier circonscrit.

[LeJeu]

Une manière légèrement différente de voir les choses:

Si on place n cercles sur un côté de l'hexagone, et en considérant les progressions arithmétiques du nombre de cercles sur les lignes parallèles, on trouve que le nombre de cercles qu'on peut loger dans l'hexagone est:

3n²-3n+1.

Je pense au pavage par des hexagones(comme un nid d'abeilles), chaque hexagone contenant un cercle. Quand n tend vers l'infini l'effet de bord devient effectivement négligeable, le rapport cherché est égal au rapport de l'aire du cercle à l'aire de l'hexagone régulier circonscrit.

Salut Hammana,

C'est marrant comme on visualise le problème différemment

Tu vois des lignes parallèles, je vois des hexagones concentriques avec bien sûr comme toi :
1 + 6 ( 1+2+... n-1) = 1 +3n(n-1)

je vois un petit bout de bleu coincé entre trois cercles
tu vois du bleu entourant un cercle



Si un psy-cognitologue est dans le coin..

[sonia15588]

bonjour,

mais je ne vois pas de triangle...

[Ezra]

bonjour,

mais je ne vois pas de triangle...

ce sont des bases acquises au collège à voir: un hexagone régulier est formé de 6 triangles équilatéraux.
En polygone, il s'inscrit dans un cercle que l'on peut partager en 4 secteurs équivalents liés à 4 triangles.